Ισόπλευρο με αιτία.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (9.45 KiB) Προβλήθηκε 1638 φορές

Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ABC

με βαρύκεντρο το σημείο

.

Αν

το συμμετρικό του

ως προς την

,

το μέσο της

και $D\equiv MP\cap AC$ , να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{(AMD)}{(ABC)}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 21, 2019 9:57 am
1.png

Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο με βαρύκεντρο το σημείο .

Αν το συμμετρικό του ως προς την , το μέσο της

και $D\equiv MP\cap AC$ , να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{(AMD)}{(ABC)}$ .

Είναι, $\displaystyle AP//MC \Rightarrow \left( {AMD} \right) = \left( {DPC} \right) = \left( {DOC} \right) = S$ και με

$\displaystyle N$ μέσον της $\displaystyle OC \Rightarrow \left( {AMC} \right) = \frac{{5S}}{2} = \frac{{\left( {ABC} \right)}}{2} \Rightarrow \boxed{\frac{S}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{1}{5}}$

: Ισόπλευρο με αιτία.png (12.03 KiB) Προβλήθηκε 1619 φορές

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 21, 2019 9:57 am
1.png

Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο με βαρύκεντρο το σημείο .

Αν το συμμετρικό του ως προς την , το μέσο της

και $D\equiv MP\cap AC$ , να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{(AMD)}{(ABC)}$ .

Έστω

η πλευρά του ισοπλεύρου. Το AOP

είναι προφανώς ισόπλευρο με πλευρά $\dfrac{a\sqrt 3}{3}.$

: Ισόπλευρο με αιτία.png (14.82 KiB) Προβλήθηκε 1608 φορές

$\displaystyle \frac{{(AMD)}}{{(ABC)}} = \frac{{(AMD)}}{{2(AMC)}} = \frac{{AD}}{{2a}}.$

Αλλά, $\displaystyle \dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{{AP}}{{MC}} = \frac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{AD}}{a} = \dfrac{2}{5}.$ Άρα, $\boxed{\frac{{(AMD)}}{{(ABC)}} = \frac{1}{5}}$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό μεσημέρι σε όλους.

: Ισόπλευρο Φ.Θ.PNG (7.26 KiB) Προβλήθηκε 1597 φορές

Εύκολα βρίσκουμε ότι το AOP

είναι ισόπλευρο οπότε $\dfrac{\left ( AOP \right )}{\left ( BAC \right )}=\left (\dfrac{OA}{a} \right )^{2}=\dfrac{1}{3}$ και $OM\parallel AP\Rightarrow \left ( MAP \right )=\left ( AOP \right )$

Φέρω $MN \perp BE\Rightarrow MN\parallel AE$ τότε $\dfrac{MD}{DP}=\dfrac{NE}{EP}=\dfrac{BE/2}{BE/3}=\dfrac{3}{2}$

Παίρνουμε $\left ( MAD \right )=\dfrac{3}{5}\left ( MAP \right )=\dfrac{3}{5}\left ( AOP \right )=\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{\left ( BAC \right )}{3}$ δηλαδή $\boxed{\dfrac{\left ( MAD \right )}{\left (ABC \right )}=\dfrac{1}{5}}$

Εναλλακτικά για τους προχωρημένους juniors με το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο ABE

και διατέμνουσα την MDP

παίρνουμε $\dfrac{AD}{DE}=4\Rightarrow AD=\dfrac{2}{5}a$ οπότε $\dfrac{\left ( MAD \right )}{\left (ABC \right )}=\dfrac{AM\cdot AD}{AB\cdot AC}=\dfrac{1}{5}$ . Φιλικά , Γιώργος

thanasis.a · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 21, 2019 9:57 am
1.png

Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο με βαρύκεντρο το σημείο .

Αν το συμμετρικό του ως προς την , το μέσο της

και $D\equiv MP\cap AC$ , να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{(AMD)}{(ABC)}$ .

: draw1.png (29.06 KiB) Προβλήθηκε 1577 φορές

..καλό μεσημέρι..

ονομάζουμε $\displaystyle AB=a,\,\,\,\,DH=x$ . Επειδή $\displaystyle HP=OH=\frac{BH}{3}$ με $\displaystyle BH=a\cdot \sqrt{3}\Rightarrow \frac{PB}{PH}=\frac{1}{4}\,\,\,(1)$

Στο τρίγωνο $\displaystyle AHB$ με διατέμνουσα την $\displaystyle P,D,M\Rightarrow \frac{PB}{PH}\cdot \frac{DH}{DA}\cdot \frac{MA}{MB}=1\Rightarrow ....\Rightarrow \frac{x}{a-x}=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{a}{5}\,\,\,(2)$ .

Όμως: $\displaystyle (AMD)=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot AD\cdot \eta \mu \widehat{MAD}\Rightarrow ...(AMD)=\frac{\sqrt{3}}{5}\cdot a^{2}\,\,\,(3).$ Επίσης: $\displaystyle (ABC)=\sqrt{3}\cdot a^{2}\,\,\,(4))$

Από τις σχέσεις (4),(5)

έχουμε: $\boxed{\displaystyle\frac{(AMD)}{(ABC)}=\frac{1}{5}}$

Ισόπλευρο με αιτία.

Ισόπλευρο με αιτία.

Re: Ισόπλευρο με αιτία.

Re: Ισόπλευρο με αιτία.

Re: Ισόπλευρο με αιτία.

Re: Ισόπλευρο με αιτία.

Μέλη σε σύνδεση