Άλλη μία καθετότητα

#1

: Άλλη μία καθετότητα.png (18.47 KiB) Προβλήθηκε 873 φορές

Έστω

το ύψος ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC)

και

εξωτερικό σημείο του τριγώνου ώστε

BE=BD

και $\displaystyle{CE \bot AB}.$ Αν

είναι μέσο του

και $\displaystyle{MF \bot BE}$ , όπου

είναι σημείο του μικρού

τόξου

του κύκλου (A, B, D),

να δείξετε ότι $\displaystyle{DE \bot DF}.$

#2

Γράφω ημικύκλιο προς το μέρος του

$(E,u)\,\,\,,\,\,u = DC = DB = BZ = BE$ . Ας

είναι

το σημείο τομής των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EC$ ,

το σημείο τομής της

με τον

κύκλο (A,B,D)

. Φέρνω δε από το

παράλληλη στην

που τέμνει το ημικύκλιο

στο

. Άρα

. Επειδή $BD \cdot BC = BT \cdot BA \Rightarrow 2{u^2} = BT \cdot 2BK$ , Όπου

το κέντρο του κύκλου και μέσο του

. Η προηγούμενη σχέση γράφεται :

$B{E^2} = BT \cdot BK$ και άρα η $BE \bot EK$ δηλαδή η

μεσοκάθετος στην

.

Όμως στο τετράπλευρο LHBE

( που δεν είναι τραπέζιο )

: Ακόμη μια καθετότητα.png (39.65 KiB) Προβλήθηκε 792 φορές

είναι $LH = EB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,HB//LE$ άρα εύκολα έχουμε ότι είναι παραλληλόγραμμο ,

οπότε η κάθετη από το

στο

θα είναι και μεσοκάθετη σ αυτό .

Επειδή τώρα $\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _3}} = \widehat {{\omega _4}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\omega _4}} = \widehat \theta$ ( εξωτερική στο εγγεγραμμένο HBDF

)

Θα είναι $\boxed{\widehat \theta = \widehat {{\omega _2}}}$ που μας εξασφαλίζει το τετράπλευρο EMDF

εγγράψιμο και κατά

συνέπεια $\widehat {EDF} = \widehat {EMF} = 90^\circ$ .

Άλλη μία καθετότητα

Άλλη μία καθετότητα

Re: Άλλη μία καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση