Καθετότητα στο τετράγωνο

#1

: Καθετότητα στο τετράγωνο.png (12.77 KiB) Προβλήθηκε 1015 φορές

είναι τυχαίο σημείο της πλευράς

τετραγώνου ABCD

, η

τέμνει την

στο

και η διχοτόμος της γωνίας $\widehat {EDC}$

τέμνει την

στο

. Στο ευθύγραμμο τμήμα

θεωρούμε σημείο

, ώστε

. Να δείξετε ότι $\displaystyle{FZ \bot DE}.$

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε:Καθετότητα στο τετράγωνο.png
είναι τυχαίο σημείο της πλευράς τετραγώνου , η τέμνει την στο και η διχοτόμος της γωνίας $\widehat {EDC}$

τέμνει την στο . Στο ευθύγραμμο τμήμα θεωρούμε σημείο , ώστε . Να δείξετε ότι $\displaystyle{FZ \bot DE}.$

Καλημέρα Γιώργο

Εστω ότι $FZ\perp ED$ Θα αποδειχθεί ότι DE=EF+FH

Προεκτείνω την

κατά ίσο τμήμα FH=FG

και έστω

το σημείο τομής των ZF,AB

. Εστω $\hat{FHG}=\hat{FGH}=\phi ,\hat{EDH}=\hat{HDC}=\omega ,\hat{FDC}=\theta$
Tότε από τα εγράψιμα τετράπλευρα DZFC,ZEBF,NAZD

είναι $\hat{CDF}=\hat{CZF}=\hat{NZA}=\hat{NDA}=\theta ,\hat{ZDC}=\hat{ZFB}=\hat{DEA}=2\omega ,$
Στο ορθογώνιο τρίγωνο $AND,\hat{N}+\hat{D}=45+90-2\omega +\theta =90\Leftrightarrow 2\omega -\theta =45,(1)$
Aπό καθετότητα πλευρών είναι

$\hat{ADE}=\hat{ZFE}\Leftrightarrow 90-2\omega =2\omega -2\phi \Leftrightarrow 2\omega -\phi =45,(2), (1),(2)\Rightarrow \phi =\theta$
Αρα $\hat{ZNA}=\hat{ZBN}=\hat{ZFE}=90-2\omega ,NE=EF=ZB,$
Δηλαδή η

είναι μεσοκάθετος στο τμήμα

, $DN\perp DF$
Tα τρίγωνα DFG=DFH

είναι ίσα ,γιατί η

είναι κοινή πλευρά , FH=FG

,
$\hat{DFG}=\hat{DFH}=2\omega +45,$ ,αρα το τρίγωνο DHG

είναι ισοσκελές με $DG=DH,\hat{DGF}=\hat{FHD}=90-\omega ,\hat{HDF}=\hat{FDG}=\omega -\theta ,$
Οπότε $\hat{EDG}=45+\omega -\theta =90-\omega =\hat{EGD},ED=EG$
$ED=EF+FG\Leftrightarrow ED=EF+FH$

Γιάννης

#3

george visvikis έγραψε:Καθετότητα στο τετράγωνο.png
είναι τυχαίο σημείο της πλευράς τετραγώνου , η τέμνει την στο και η διχοτόμος της γωνίας $\widehat {EDC}$ τέμνει την στο . Στο ευθύγραμμο τμήμα θεωρούμε σημείο , ώστε . Να δείξετε ότι $\displaystyle{FZ \bot DE}.$

.

Καλημέρα στους φίλους. Αφού απάντησε ο Γιάννης νομίζω ότι έχει αρθεί το 48 ωρο

Θεωρούμε την κάθετη της στο $Z\equiv AC\cap DE$ και αν αυτή τέμνει την στο θα δείξουμε το ισοδύναμο πρόβλημα ( *) ότι .

$\bullet$ Έστω $T\equiv ZF\cap AD,Q\equiv ZF\cap BD$ . Τότε ομοκυκλικά

διότι $\angle DCF = \angle DZF = {90^0} \Rightarrow$ $\angle FDC = \angle FZC$ $\mathop = \limits^{o\xi \varepsilon \iota \varepsilon \varsigma \,\,\mu \varepsilon \,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma } \angle ZDB$ $\mathop \Rightarrow \limits^{DH\,\,\delta \iota \chi o\tau o\mu o\varsigma \,\,\tau \eta \varsigma \,\,\angle EDC} DH$ διχοτόμος της γωνίας $\angle BDF$
[attachment=0]καθετότητα στο τετράγωνο..png[/attachment]
$\bullet$ Έτσι $\angle HQF\mathop = \limits^{\vartriangle DQF} \angle DFQ + \angle HDF$ $\mathop = \limits^{\angle DFQ = \angle DCZ = {{45}^0} = \angle DBH} \angle DBH + \angle BDH\mathop = \limits^{\vartriangle DHB}$ $\angle FHQ \Rightarrow \boxed{FQ = FH}:\left( 1 \right)$ $\mathop \Rightarrow \limits^{DT\parallel FH} \boxed{TQ = DT}:\left( 2 \right)$ .

Από το ισοσκελές τραπέζιο $TE\parallel DF\left( {\angle ETF = \angle DFT = {{45}^0}} \right)$ και (αφού τα τρίγωνα $\vartriangle TZE,\vartriangle FZD$ είναι προφανώς

ορθογώνια και ισοσκελή) προκύπτει ότι $EF = DQ\mathop = \limits^{\left( 2 \right)} TQ\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} EF + FH$ και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

(*) Ενδιαφέρον παρουσιάζει γιατί ισχύει η ισοδυναμία $FT\bot DE\Leftrightarrow DE=EF+FH$ . Το αφήνω για προβληματισμό και θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί.

(**) Είναι γνωστή η πρόταση : Τμήματα κάθετα μεταξύ τους με άκρα στις απέναντι πλευρές τετραγώνου είναι ίσα.

#4

george visvikis έγραψε:Καθετότητα στο τετράγωνο.png
είναι τυχαίο σημείο της πλευράς τετραγώνου , η τέμνει την στο και η διχοτόμος της γωνίας $\widehat {EDC}$

τέμνει την στο . Στο ευθύγραμμο τμήμα θεωρούμε σημείο , ώστε . Να δείξετε ότι $\displaystyle{FZ \bot DE}.$

Καλημέρα σε όλους .

Τώρα βλέπω λύση του Στάθη .

Επειδή υποψιάζομαι ότι έχουμε μεγάλο συντονισμό θα αφήσω το σχήμα και αν η λύση μου έχει σαφείς διαφορές από τη δική του θα την "ανεβάσω"

: καθετότητα στο τετράγωνο.png (30.98 KiB) Προβλήθηκε 908 φορές

Φιλικά Νίκος

#5

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Καλημέρα στους φίλους. Αφού απάντησε ο Γιάννης νομίζω ότι έχει αρθεί το 48 ωρο

Καλό μεσημέρι σε όλους!

Μην πανικοβάλλεστε τσάμπα!

Το 48 ωρο αποχής, ισχύει μόνο για φακέλους Θαλή/Ευκλείδη!!!

Καθετότητα στο τετράγωνο

Καθετότητα στο τετράγωνο

Re: Καθετότητα στο τετράγωνο

Re: Καθετότητα στο τετράγωνο

Re: Καθετότητα στο τετράγωνο

Re: Καθετότητα στο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση