Ομοκυκλικά σημεία

#1

Έστω τρίγωνο ABC

και έστω

το έγκεντρο του. Έστω

το σημείο τομής της

με την

. Έστω

το έγκεντρο του τριγώνου ABD

και έστω

, το έγκεντρο του ADC

. Έστω ότι η ευθεία

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου BCE

στο σημείο $P (\ne E)$ και έστω ότι η ευθεία

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου BCF

στο σημείο $Q (\ne F).$ Να δειχθεί ότι το μέσο της

ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου DPQ

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ορέστης Λιγνός · #2

achilleas έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 15, 2022 6:19 pm
Έστω τρίγωνο και έστω το έγκεντρο του. Έστω το σημείο τομής της με την . Έστω το έγκεντρο του τριγώνου και έστω , το έγκεντρο του . Έστω ότι η ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο σημείο $P (\ne E)$ και έστω ότι η ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο σημείο $Q (\ne F).$ Να δειχθεί ότι το μέσο της ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Έστω

το μέσον της

.

Ισχυρισμός 1: $\angle MPC=\angle IEF$ και $\angle MPB=\angle FEC$ .
Απόδειξη: Έστω $\angle MPC=\alpha, \angle IEF=\beta, \angle MPB=\gamma, \angle FEC=\delta$ . Τότε παρατηρούμε πως

$\alpha+\gamma=\angle BPC=\angle IEC=\beta+\delta$

Από το Λήμμα (δείτε στο τέλος της απόδειξης), αρκεί να δείξουμε πως

$\dfrac{\sin \alpha}{\sin \gamma}=\dfrac{\sin \beta}{\sin \delta}$ .

Είναι,

$\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{BP}{PC} \dfrac{\sin \gamma}{\sin \alpha},$

οπότε αφού BM=MC

, είναι

$\dfrac{\sin \alpha}{\sin \gamma}=\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{\sin \angle BCP}{\sin \angle CBP}=\dfrac{\sin \angle BED}{\sin \angle CED}$

Αφού όμως

$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{BE}{CE} \cdot \dfrac{\sin \angle BED}{\sin \angle CED},$

είναι τελικά

$\dfrac{\sin \alpha}{\sin \gamma}=\dfrac{BD}{CD} \cdot \dfrac{CE}{BE}$

Επιπλέον,

$\dfrac{IF}{FC}=\dfrac{IE}{EC} \cdot \dfrac{\sin \beta}{\sin \delta}$ ,

και άρα

$\dfrac{\sin \beta}{\sin \delta}=\dfrac{IF}{FC} \cdot \dfrac{EC}{IE}$

Συνεπώς αρκεί να αποδείξουμε πως

$\dfrac{BD}{CD} \cdot \dfrac{CE}{BE}=\dfrac{IF}{FC} \cdot \dfrac{EC}{IE},$

ή ισοδύναμα ότι

$\dfrac{BD}{CD} \cdot \dfrac{IE}{IB}=\dfrac{IF}{FC}$

Αυτή όμως ισχύει διότι, από το Θεώρημα Διχοτόμων,

$\dfrac{BD}{CD} \cdot \dfrac{IE}{IB}=\dfrac{AB}{AC} \cdot \dfrac{AI}{AB}=\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{IF}{FC},$

όπως θέλαμε $\blacksquare$

Ισχυρισμός 2: Το τετράπλευρο EFPQ

είναι εγγράψιμο.
Απόδειξη: Είναι λόγω της εγγραψιμότητας των BFCQ

και

,

$FD \cdot DQ=BD \cdot DC=ED \cdot DP,$

οπότε το EFPQ

είναι εγγράψιμο $\blacksquare$

Στο πρόβλημα, από τους Ισχυρισμούς 1 και 2 είναι

$\angle CMP=180^\circ-\angle MCP-\angle MPC=180^\circ-\angle BED-\angle IEF=\angle FED=\angle DQP,$

οπότε το τετράπλευρο DQPM

είναι εγγράψιμο, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Λήμμα: Αν x,y,z,w

γωνίες ώστε $x+z=y+w<\pi$ και $\dfrac{\sin x}{\sin z}=\dfrac{\sin y}{\sin w}$ , τότε x=y

και

.
Απόδειξη: Έστω η συνάρτηση $f(t)=\dfrac{\sin t}{\sin (A-t)}$ , όπου $x+z=y+w=A<\pi$ , οπότε

$f'(t)=\dfrac{\cos t \sin (A-t)+\sin t \cos (A-t)}{\sin^2(A-t)}=\dfrac{\sin(A)}{\sin^2(A-t)}>0$

καθώς $A < \pi$ .

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα, οπότε και 1-1, συνεπώς αφού f(x)=f(y)

έπεται ότι x=y

και συνεπακόλουθα και z=w

$\blacksquare$

#3

Για το λήμμα που χρησιμοποίησε ο Ορέστης, δείτε και εδώ

Ομοκυκλικά σημεία

Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Μέλη σε σύνδεση