Yπάρχει ο αριθμός;

Xriiiiistos · #1

Υπάρχει τέτοιος αριθμός

ώστε οι αριθμοί $3a^{2}\sqrt{3}$ και $a+\sqrt{3}$ να είναι ακέραιοι αριθμοί;

Tolaso J Kos · #2

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 03, 2018 11:02 am
Υπάρχει τέτοιος αριθμός ώστε οι αριθμοί $\alpha = 3a^{2}\sqrt{3}$ και $\beta = a+\sqrt{3}$ να είναι ακέραιοι αριθμοί;

Χάνω κάτι ; Αν πάρουμε $a=-\sqrt{3}$ τότε $\beta =0 \in \mathbb{Z}$ και $\alpha = 9 \in \mathbb{Z}$ .

Xriiiiistos · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 03, 2018 11:04 am

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 03, 2018 11:02 am
Υπάρχει τέτοιος αριθμός ώστε οι αριθμοί $\alpha = 3a^{2}\sqrt{3}$ και $\beta = a+\sqrt{3}$ να είναι ακέραιοι αριθμοί;
Χάνω κάτι ; Αν πάρουμε $a=-\sqrt{3}$ τότε $\beta =0 \in \mathbb{Z}$ και $\alpha = 9 \in \mathbb{Z}$ .

An $a=-\sqrt{3}$ τότε ο πρώτος ααριθμός γίνεται $3(-\sqrt{3})^{2}\sqrt{3}=9\sqrt{3}$ το οπόιο δεν είναι ακέραιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 03, 2018 11:02 am
Υπάρχει τέτοιος αριθμός ώστε οι αριθμοί $3a^{2}\sqrt{3}$ και $a+\sqrt{3}$ να είναι ακέραιοι αριθμοί;

Νομίζω ότι είναι σχετικά απλό.

Αν $a+\sqrt{3}=k$ με $k\in \mathbb{Q}$

τότε $3a^{2}\sqrt{3}=3(k-\sqrt{3})^{2}\sqrt{3}=3(k^{2}+3)\sqrt{3}-18k$

Αν λοιπόν $3a^{2}\sqrt{3}=r\in \mathbb{Q}$ τότε $\sqrt{3}=\dfrac{18k+r}{3(k^{2}+3)}\in \mathbb{Q}$

που προφανώς είναι ΑΤΟΠΟ.

Αρα δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός

ώστε οι αριθμοί $3a^{2}\sqrt{3}$ και $a+\sqrt{3}$ να είναι ρητοί αριθμοί,

οπότε δεν υπάρχει ωστε να είναι ακέραιοι.

Κω.Κωνσταντινίδης · #5

Λάθος λύση

Τσιαλας Νικολαος · #6

Γιατί το κλάσμα είναι ακέραιος??

Κω.Κωνσταντινίδης · #7

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 04, 2018 6:33 am
Γιατί το κλάσμα είναι ακέραιος??

Λάθος μου. Ευχαριστώ για την επισήμανση. Την διόρθωσα αλλά μετά δεν ξέρω πως να συνεχίσω.

Τσιαλας Νικολαος · #8

Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 04, 2018 12:19 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 04, 2018 6:33 am
Γιατί το κλάσμα είναι ακέραιος??
Λάθος μου. Ευχαριστώ για την επισήμανση. Την διόρθωσα αλλά μετά δεν ξέρω πως να συνεχίσω.

Σε αυτή την άσκηση το νόημα είναι να διώξεις το α για το οποίο δεν ξέρεις κάτι. Νομίζω ότι ο μοναδικός τρόπος είναι αυτός του κύριου Σταυρου

Κω.Κωνσταντινίδης · #9

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 04, 2018 12:23 pm

Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 04, 2018 12:19 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 04, 2018 6:33 am
Γιατί το κλάσμα είναι ακέραιος??
Λάθος μου. Ευχαριστώ για την επισήμανση. Την διόρθωσα αλλά μετά δεν ξέρω πως να συνεχίσω.
Σε αυτή την άσκηση το νόημα είναι να διώξεις το α για το οποίο δεν ξέρεις κάτι. Νομίζω ότι ο μοναδικός τρόπος είναι αυτός του κύριου Σταυρου

Ακριβώς. Μάλιστα στον Αρχιμήδη νέων 2018 είχε τεθεί μια παρόμοια άσκηση. Οι λύση που ανέρτησε η ΕΜΕ για το θέμα αυτό ήταν ίδια με του κ.Σταύρου.

Τσιαλας Νικολαος · #10

Το νόημα της άσκησης έχει πέσει κ;ι παλιότερα στην Ελλάδα αλλά και σε άλλες χωρες!!!

#11

Παρ' όλη την διόρθωση, υπάρχουν θέματα.

Ένα δευτερεύον είναι εδώ

Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 04, 2018 12:41 am
$\varepsilon =3\alpha ^{3}\sqrt{3}+9\alpha ^{2}\Leftrightarrow \frac{\varepsilon }{3(\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2})}$

αφού κάτι λείπει δεξιά του " $\Leftrightarrow$ " . Υποθέτω ότι εννοείς $\varepsilon =3\alpha ^{3}\sqrt{3}+9\alpha ^{2}\Leftrightarrow \frac{\varepsilon }{3(\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2})} =1$ .

Ας το παραβλέψουμε αυτό. Το κύριο σημείο είναι

Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 04, 2018 12:41 am
Άρα $\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2}$ είναι ακέραιος αφού ο $\varepsilon$ είναι ακέραιος.

Για παράδειγμα το $\epsilon = 54$ είναι ακέραιος και ισχύει $\frac{\varepsilon }{3(\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2})} =1$ για $a=\sqrt 3$ , αλλά το

δεν είναι ακέραιος.

Κω.Κωνσταντινίδης · #12

Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 04, 2018 12:41 am
$\varepsilon =3\alpha ^{3}\sqrt{3}+9\alpha ^{2}\Leftrightarrow \frac{\varepsilon }{3(\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2})}$

αφού κάτι λείπει δεξιά του " $\Leftrightarrow$ " . Υποθέτω ότι εννοείς $\varepsilon =3\alpha ^{3}\sqrt{3}+9\alpha ^{2}\Leftrightarrow \frac{\varepsilon }{3(\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2})} =1$ .

Ακριβώς κ.Λάμπρου. Δεν ξέρω γιατί σε Latex δεν μου έβγαινε.

Κω.Κωνσταντινίδης · #13

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 04, 2018 1:45 pm

Για παράδειγμα το $\epsilon = 54$ είναι ακέραιος και ισχύει $\frac{\varepsilon }{3(\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2})} =1$ για $a=\sqrt 3$ , αλλά το

δεν είναι ακέραιος.
[/quote]

Δεν λέει η άσκηση κάπου ότι ο α είναι ακέραιος. Εϊπα γενικότερα ότι το $\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2}$ είναι ακέραιος. Σας υπερευχαριστώ για τις επισημάνσεις.

#14

Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 04, 2018 2:45 pm
Δεν λέει η άσκηση κάπου ότι ο α είναι ακέραιος. Εϊπα γενικότερα ότι το $\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2}$ είναι ακέραιος. Σας υπερευχαριστώ για τις επισημάνσεις.

Έχεις δίκιο. Απροσεξία μου.

Ας πάρουμε όμως τα πράγματα από την αρχή: Το γεγονός ότι (όπως υποθέτουμε) οι $3a^2\sqrt 3, \, a+\sqrt 3$ είναι ακέραιοι, έχει ως άμεση συνέπεια ότι το γινόμενό τους $3(a^3\sqrt 3+ 3 a^2\sqrt 3)$ είναι ακέραιος. Δηλαδή δεν χρειάζεται να κάνουμε ολόκληρη την μανούβρα με παραλληλόγραμμα, πολλαπλασιασμούς, ισοδυναμίες και διαιρέσεις. Έτσι η λύση είναι στην αρχή της, χωρίς κάποιο ουσιαστικό βήμα.

Αξίζει πάντως να συνεχιστεί μήπως βγάλει πλήρη λύση. Δεν αμφιβάλλω ότι θα είναι σχετικά προσιτό τρόπος.

Yπάρχει ο αριθμός;

Yπάρχει ο αριθμός;

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

Μέλη σε σύνδεση