Μέγιστη τιμή

#1

Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης a^2 +b^2 +c^2

αν

είναι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a + b, b + c, c + a \in [0, 1].$

#2

Είναι λογικό να θέσουμε $\displaystyle{a+b=2z, b+c=2x, c+a=2y}$ , οπότε $\displaystyle{a=y+z-x, b=z+x-y, c=x+y-z}$ , με $\displaystyle{x,y,z\in \left[0,\frac{1}{2}\right]}$ .

Θέλουμε το μέγιστο της παράστασης $\displaystyle{(x+y-z)^2+(y+z-x)^2+(z+x-y)^2}$ όταν $\displaystyle{x,y,z\in \left[0,\frac{1}{2}\right]}$ .

Είναι $\displaystyle{(x+y-z)^2+(y+z-x)^2+(z+x-y)^2=3(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+zx)}$ , δηλαδή μια συνάρτηση κυρτή ως προς τα $\displaystyle{x,y,z.}$ Λόγω των περιορισμών

$\displaystyle{x,y,z\in \left[0,\frac{1}{2}\right]}$ , το μέγιστο θα πιάνεται "στα άκρα". Με δοκιμές βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{\max (3(χ^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+zx))=1,}$ όταν ο ένας είναι μηδέν και οι άλλοι δύο ίσοι με $\displaystyle{\frac{1}{2}.}$

Μέγιστη τιμή

Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση