Γειτονικοί ρητοί

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Ως συνέχεια αυτής της ανάρτησης: viewtopic.php?f=173&t=58147

Γράφουμε σε αύξουσα σειρά, όλους τους θετικούς ρητούς (σε ανάγωγη μορφή) με παρονομαστή το πολύ

. Ποιοι είναι οι δύο γειτονικοί ρητοί του $\frac{5}{8}$ ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Έστω ότι τα ζητούμενα κλάσματα είναι τα $\dfrac{a}{\beta },\dfrac{\gamma }{\delta },$

με $0<a<\beta$ και $0<\gamma <\delta .$

Τότε θα ισχύει $\dfrac{a}{\beta }<\dfrac{5 }{8}<\dfrac{\gamma }{\delta }.$

Υπολογίζουμε πρώτα τα $a,\beta.$ Ισχύει ότι (ιδιότητα της ακολουθίας Farey) $5\beta-8a=1\Rightarrow a=\dfrac{5\beta-1}{8 }$ .

Επειδή $\dfrac{5\beta-1}{8 }\in Z^+$ έχουμε ότι $\beta=8k+5,k=0,1,2,...,11$ (επειδή $\beta\leq 99$ )

και a=5k+3,k=0,1,2,...,11

. Επομένως, $\dfrac{a}{\beta }=\dfrac{5k+3 }{8k+5 }$ το οποίο εύκολα δείχνουμε

ότι μεγιστοποιείται για k=11.

Άρα $\dfrac{a}{\beta }=\dfrac{58 }{93 }$ και με όμοιο τρόπο δείχνουμε ότι

$\dfrac{\gamma }{\delta }=\dfrac{62}{99 }.$

minageus · #4

Αρχικά παρατηρώ ότι $\frac{5}{8}= \frac{k}{99}\Leftrightarrow k=61,875\approx 62$
Επειδή $k=\left \lfloor \frac{99\cdot 5}{8} \right \rfloor+1=62$ , το $\frac{62}{99}$ θα είναι το αμέσως μεγαλύτερο κλάσμα του $\frac{5}{8}$ .
Θα βρω τον αμέσως μικρότερο.
Καταλαβαίνω ότι ο παρονομαστής πρέπει να είναι μεγαλύτερος του

. Αν πάρω τώρα $l\in (80,99)$ και

τέτοιο ώστε $\frac{5}{8}> \frac{m}{l}$ και (m,l)=1

και δοκιμάσω τις περιπτώσεις, θα λάβω m=58

και

.
Άρα, $\frac{58}{93}< \frac{5}{8}< \frac{62}{99}$
Σημείωση:

από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Ιουν 04, 2019 1:02 pm
...(ιδιότητα της ακολουθίας Farey)...

Κύριε Κατσάπα, θα ήμουν ευγνώμων αν δημοσιεύατε κάποιο υλικό για να καταλάβω περί τίνος πρόκειται η ακολουθία Farey.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

minageus έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 04, 2019 7:34 pm
Αρχικά παρατηρώ ότι $\frac{5}{8}= \frac{k}{99}\Leftrightarrow k=61,875\approx 62$
Επειδή $k=\left \lfloor \frac{99\cdot 5}{8} \right \rfloor+1=62$ , το $\frac{62}{99}$ θα είναι το αμέσως μεγαλύτερο κλάσμα του $\frac{5}{8}$ .
Θα βρω τον αμέσως μικρότερο.
Καταλαβαίνω ότι ο παρονομαστής πρέπει να είναι μεγαλύτερος του . Αν πάρω τώρα $l\in (80,99)$ και τέτοιο ώστε $\frac{5}{8}> \frac{m}{l}$ και και δοκιμάσω τις περιπτώσεις, θα λάβω και .
Άρα, $\frac{58}{93}< \frac{5}{8}< \frac{62}{99}$
Σημείωση:
από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Ιουν 04, 2019 1:02 pm
...(ιδιότητα της ακολουθίας Farey)...
Κύριε Κατσάπα, θα ήμουν ευγνώμων αν δημοσιεύατε κάποιο υλικό για να καταλάβω περί τίνος πρόκειται η ακολουθία Farey.

Μπορείς να δεις στο
https://en.wikipedia.org/wiki/Farey_sequence
https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/fareyproject.pdf

minageus · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 04, 2019 11:33 pm

minageus έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 04, 2019 7:34 pm
Αρχικά παρατηρώ ότι $\frac{5}{8}= \frac{k}{99}\Leftrightarrow k=61,875\approx 62$
Επειδή $k=\left \lfloor \frac{99\cdot 5}{8} \right \rfloor+1=62$ , το $\frac{62}{99}$ θα είναι το αμέσως μεγαλύτερο κλάσμα του $\frac{5}{8}$ .
Θα βρω τον αμέσως μικρότερο.
Καταλαβαίνω ότι ο παρονομαστής πρέπει να είναι μεγαλύτερος του . Αν πάρω τώρα $l\in (80,99)$ και τέτοιο ώστε $\frac{5}{8}> \frac{m}{l}$ και και δοκιμάσω τις περιπτώσεις, θα λάβω και .
Άρα, $\frac{58}{93}< \frac{5}{8}< \frac{62}{99}$
Σημείωση:
από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Ιουν 04, 2019 1:02 pm
...(ιδιότητα της ακολουθίας Farey)...
Κύριε Κατσάπα, θα ήμουν ευγνώμων αν δημοσιεύατε κάποιο υλικό για να καταλάβω περί τίνος πρόκειται η ακολουθία Farey.
Μπορείς να δεις στο
https://en.wikipedia.org/wiki/Farey_sequence
https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/fareyproject.pdf

Σας ευχαριστώ πολύ!

Γειτονικοί ρητοί

Γειτονικοί ρητοί

Re: Γειτονικοί ρητοί

Re: Γειτονικοί ρητοί

Re: Γειτονικοί ρητοί

Re: Γειτονικοί ρητοί

Re: Γειτονικοί ρητοί

Μέλη σε σύνδεση