Θετικοί Ακέραιοι εις την Τρίτη !

Κατερινόπουλος Νικόλας · #1

Να βρείτε όλες τις τριάδες $(x \; , y \; , z)$ θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την παρακάτω εξίσωση :

$x^{3}+3y^{3}+9z^{3}-3xyz=0$

Για μαθητές μέχρι το Δεκαπενταύγουστο!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Datis-Kalali · #2

Η εξίσωση γράφεται x^3+3y^3+9z^3=3xyz

. Έστω ότι μία λύση της εξισώσης είναι (x_1,y_1,z_1)

έχουμε ότι $3\vert {x_1}^3+3{y_1}^3+9{z_1}^3 \Rightarrow 3\vert x_1 \Rightarrow x_1=3x_2$ και η εξίσωση γράφεται $9{x_2}^3+{y_1}^3+3{z_1}^3=3x_2y_1z_1$ .Ομοία έχουμε ότι $3\vert y_1$ και ξανά $3\vert z_1$ . Τωρά και έχουμε την εξίσωση ${x_2}^3+3{y_2}^3+9{z_2}^3=3{x_2}{y_2}{z_2}$ , άρα για την λύση (x_1,y_1,z_1)

ηβράμε την λύση (x_2,y_2,z_2)

με

, και ομοία μπρούμε να βρούμε τις λυσείς (x_3,y_3,z_3)

,...,

με

,

και

, που είναι αδύνατη αφου x,y

και

είναι θετικοί ακέραιοι και δεν έχουμε μία ακουλουθία θετικών ακέραιων που μειώνεται και έχει άπειρα στοιχεία. Άρα η εξίσωση δεν έχει λύση

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Κάτι δεν πάει καλά.

Από AMG είναι

$x^{3}+3y^{3}+9z^{3}\geq 3\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{9}xyz=6xyz$

που δείχνει ότι για θετικούς(ακόμη και πραγματικοί να είναι)

είναι αδύνατη.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Κάτι δεν πάει καλά.

Από AMG είναι

$x^{3}+3y^{3}+9z^{3}\geq 3\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{9}xyz=6xyz$

που δείχνει ότι για θετικούς (ακόμη και πραγματικοί να είναι)

είναι αδύνατη.

Γεια σας κύριε Στάυρο !

Για θετικούς , όντως δεν υπάρχουν λύσεις . Όμως , υπάρχει το $\boxed{(x, y, z)=(0, 0, 0)}$ , που δεν είναι ακέραιη λύση , αλλά είναι μια

λύση , (μη δεκτη) . Επίσης , υπάρχει διαφορά στην εκφώνηση που μετέφρασα ;

Το βιβλίο λέει :

Find all triples (x , y , z)

of POSITIVE INTEGER SOLUTIONS to the following equation ...

Και έβαλα θετικούς ακεραίους και όχι θετικές ακέραιες λύσεις !

#5

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Και έβαλα θετικούς ακεραίους και όχι θετικές ακέραιες λύσεις !

Ποια είναι ακριβώς η διαφορά μεταξύ "λύση στους θετικούς ακέραιους" και "θετικές ακέραιες λύσεις";

Δεν βλέπω διαφορά. Μήπως χάνω κάτι;

#6

Με λίγο ψάξιμο ήταν η άσκηση 1 του 1983. Είχε διατυπωθεί ως εξής:

Έστω ρητοί αριθμοί x,y,z

οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση

$\displaystyle{ x^3 + 3y^3 + 9z^3 - 9xyz = 0. }$

Να δειχθεί ότι x=y=z=0

.

[Με κάποιες μικρές τροποποιήσεις η λύση του Datis μπορεί να διαμορφωθεί κατάλληλα και για αυτήν την εκφώνηση. Ας την γράψει όμως κάποιος πλήρως.]

Θετικοί Ακέραιοι εις την Τρίτη !

Θετικοί Ακέραιοι εις την Τρίτη !

Re: Θετικοί Ακέραιοι εις την Τρίτη !

Re: Θετικοί Ακέραιοι εις την Τρίτη !

Re: Θετικοί Ακέραιοι εις την Τρίτη !

Re: Θετικοί Ακέραιοι εις την Τρίτη !

Re: Θετικοί Ακέραιοι εις την Τρίτη !

Μέλη σε σύνδεση