Οκτάγωνο και τέμνουσα

[Mihalis_Lambrou]

Στην εικόνα βλέπουμε ένα οκτάγωνο και μία ευθεία που τέμνει εσωτερικά και τις οκτώ πλευρές του.
Γίνεται το αντίστοιχο με επτάγωνο; Αιτιολογείστε.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Στην εικόνα βλέπουμε ένα οκτάγωνο και μία ευθεία που τέμνει εσωτερικά και τις οκτώ πλευρές του.
Γίνεται το αντίστοιχο με επτάγωνο; Αιτιολογείστε.

Η ευθεία χωρίζει το επίπεδο μας σε δύο ημιεπίπεδα: και .

Ονομάζουμε τις κορυφές του επταγώνου με τους αριθμούς

Έστω ότι η κορυφή ανήκει στο ημιεπίπεδο . Τότε η κορυφή θα πρέπει να ανήκει στο , (εφόσον η πλευρά
τέμνεται από την ευθεία). Για τον ίδιο λόγο, θα πρέπει η κορυφή να ανήκει στο , η κορυφή στο , η στο ,
η στο , η στο και τέλος, για να κλείσει η τεθλασμένη μας γραμμή, ώστε να σχηματισθεί το επτάγωνο, και επί πλέον η πλευρά να τέμνεται από την ευθεία, θα πρέπει η κορυφή να ανήκει στο .
Έτσι όμως, ερχόμαστε σε αντίφαση, αφού η κορυφή ανήκει και στο και στο ημιεπίπεδο, οπότε θα ανήκει πάνω στην ευθεία , το
οποίο δεν μας επιτρέπεται από την εκφώνηση, αφού η ευθεία τέμνει τις πλευρές του επταγώνου σε εσωτερικά τους σημεία.

[Mihalis_Lambrou]

Λίγο αλλιώς: Έστω ότι υπήρχε τέτοια διατέμνουσα για το επτάγωνο (ή γενικότερα για πολύγωνο με περιττό πλήθος κορυφών). Κοιτάμε τις κορυφές από την μία πλευρά της διατέμνουσας. Αυτών το ταίρι πρέπει να είναι από την άλλη πλευρά. Άρα το πλήθος των κορυφών που βρίσκονται από την πλευρά αυτή πρέπει να είναι ίσο με το πλήθος των κορυφών που βρίσκονται από στην άλλη πλευρά. Αυτό δεν γίνεται όταν οι κορυφές (εδώ ) είναι περιττός αριθμός.