Ελάχιστο τετραπλεύρου

KARKAR · #1

: Ελάχιστο παραλληλόγραμμο.png (11.1 KiB) Προβλήθηκε 781 φορές

Στις πλευρές του ορθογωνίου ABCD

, με :

, θεωρούμε σημεία S,P,Q,T

, τέτοια

ώστε : AS=BP=CQ=DT

. Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου SPQT

.

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #2

Προφανώς ισχύει: (ABCD)=45

Θέτουμε:

. Τότε, θα είναι: BS=DQ=9-x, CP=AT=5-x

.

Ισχύει: $(ATS)=(PQC)=\frac{x(5-x)}{2}, (PBS)=(QDT)=\frac{x(9-x)}{2}$

Είναι, λοιπόν: f(x)=(SPQT)=(ABCD)-2(ATS)-2(PBS)=45+x(x-9)+x(x-5)=x^2-9x+x^2-5x+45=2x^2-14x+45

Προφανώς, λοιπόν, είναι: $(SPQT)_{min}=\frac{41}{2}$ που επιτυγχάνεται για: $x=\frac{7}{2}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 27, 2022 7:51 am
Ελάχιστο παραλληλόγραμμο.pngΣτις πλευρές του ορθογωνίου , με : , θεωρούμε σημεία , τέτοια

ώστε : . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου .

Ας το δούμε και κάπως παρόμοια .

Επειδή το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι σταθερό το εμβαδόν του τετραπλεύρου (παραλληλογράμμου )

γίνεται ελάχιστο όταν τα περιμετρικά ορθογώνια τρίγωνα έχουν εμβαδόν συνολικά μέγιστο.

: Ελάχιστο τετραπλεύρου.png (14.3 KiB) Προβλήθηκε 743 φορές

Αν $AS = x \in \left( {0,5} \right)$ τα περιμετρικά ορθογώνια τρίγωνα έχουν εμβαδόν x(5 - x) + x(9 - x) = 2x(7 - x)

.

Οι θετικές ποσότητες $x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,7 - x$ έχουν άθροισμα

(σταθερό ) και άρα το γινόμενο τους γίνεται μέγιστο όταν αυτές γίνουν ίσες .

Τότε : $x = 7 - x \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{7}{2}}$ , εύκολα μετά $\boxed{{{\left( {SPQT} \right)}_{\max }} = 45 - \frac{{49}}{2} = \frac{{41}}{2}}$

Ελάχιστο τετραπλεύρου

Ελάχιστο τετραπλεύρου

Re: Ελάχιστο τετραπλεύρου

Re: Ελάχιστο τετραπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση