Ώρα εφαπτομένης 83

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 83.png (25.48 KiB) Προβλήθηκε 788 φορές

Οι κύκλοι (O,3)

και

τέμνονται , με τρόπο ώστε η διάκεντρός τους

να είναι ίση με την κοινή τους χορδή

. Υπολογίστε την : $\tan\widehat{SOK}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 18, 2021 1:34 pm
Ώρα εφαπτομένης 83.pngΟι κύκλοι και τέμνονται , με τρόπο ώστε η διάκεντρός τους

να είναι ίση με την κοινή τους χορδή . Υπολογίστε την : $\tan\widehat{SOK}$ .

Θανάση, Χρόνια Πολλά!

Μία εκτός φακέλου.

$\displaystyle \frac{{OK \cdot SD}}{2} = (SOK) = \frac{{15}}{2}\sin \varphi \Leftrightarrow$ $\boxed{{OK^2} = 30\sin \varphi }$ (1)

: Ώρα εφαπτομένης.83.png (13.38 KiB) Προβλήθηκε 754 φορές

Αλλά από νόμο συνημιτόνου, $\displaystyle O{K^2} = 34 - 30\cos \varphi \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \sin \varphi + \cos \varphi = \frac{{15}}{{17}},$ απ' όπου παίρνω

$\displaystyle \sin \varphi = \frac{{17 + \sqrt {161} }}{{30}} \Rightarrow O{K^2} = 17 + \sqrt {161} .$ Τώρα είναι, $\displaystyle {\sin ^2}\theta = \frac{{O{K^2}}}{{36}} = \frac{{17 + \sqrt {161} }}{{36}}$

και $\displaystyle {\tan ^2}\theta = \frac{{{{\sin }^2}\theta }}{{1 - {{\sin }^2}\theta }} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \frac{{9 + \sqrt {161} }}{{10}}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 18, 2021 1:34 pm
Ώρα εφαπτομένης 83.pngΟι κύκλοι και τέμνονται , με τρόπο ώστε η διάκεντρός τους

να είναι ίση με την κοινή τους χορδή . Υπολογίστε την : $\tan\widehat{SOK}$ .

Ας είναι

η προβολή του

στη διάκεντρο

και

το μέσο της διακέντρου .

Θέτω $ST = m \Rightarrow AK = 2m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TM = d$ .

: ¨ωρα εφαπτομένης 83_ok.png (13.05 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές

Π. Θ. στα $\vartriangle TSK\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle TSO$ κι έχω: $\left\{ \begin{gathered} 25 = {m^2} + {\left( {m + d} \right)^2} \hfill \\ 9 = {m^2} + {\left( {m - d} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ , αφαιρώ κατά μέλη κι έχω:

md = 4

οπότε η πρώτη δίδει : $2{m^4} - 17{m^2} + 16 = 0\,\,\left( 1 \right)$ .

Επειδή $\boxed{\tan \theta = \frac{m}{{m - d}} = \frac{{{m^2}}}{{{m^2} - 4}}}\,\,\left( 2 \right)$ θέτω στην $\left( 1 \right)$ $x = {m^2}$ και η δευτεροβάθμια

που προκύπτει δίδει: $\boxed{x = \frac{{17 + \sqrt {161} }}{4}}$ οπότε λόγω της $\left( 2 \right)$ , $\displaystyle \boxed{\tan \theta = \frac{x}{{x - 4}} = \frac{{9 + \sqrt {161} }}{{10}}}$ .

Χρόνια πολλά .

Ώρα εφαπτομένης 83

Ώρα εφαπτομένης 83

Re: Ώρα εφαπτομένης 83

Re: Ώρα εφαπτομένης 83

Μέλη σε σύνδεση