Η πέμπτη ορθή

KARKAR · #1

: Η πέμπτη ορθή.png (7.54 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές

Το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς

- του $2a \times a$ - ορθογωνίου ABCD

. Προεκτείνουμε

τις πλευρές AB , AD

κατά τμήματα : BP = DT= 2a

. Η

τέμνει την

, στο σημείο

.

α) Δείξτε ότι η γωνία : $\widehat{DSC}$ είναι ορθή ... β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TS}{SM}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 27, 2024 9:19 pm
Η πέμπτη ορθή.pngΤο σημείο είναι το μέσο της πλευράς - του $2a \times a$ - ορθογωνίου . Προεκτείνουμε

τις πλευρές κατά τμήματα : . Η τέμνει την , στο σημείο .

α) Δείξτε ότι η γωνία : $\widehat{DSC}$ είναι ορθή ... β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TS}{SM}$ .

α) $\left\{ \begin{gathered} \tan \theta = \tan {\theta _1} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \tan \omega = \tan {\omega _1} = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και αφού $\theta \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\omega$ είναι οξείες , $\tan \left( {\theta + \omega } \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}}}{{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3}}} = \dfrac{5}{5} = 1 \Rightarrow \theta + \omega = 45^\circ$ .

Από το $\vartriangle SMC$ προκύπτει , $\widehat {{a_2}} = \widehat {\theta _{}^{}} + \widehat {\omega _{}^{}} = 45^\circ = \widehat {MDC}$ και άρα το τετράπλευρο SDMC

εγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

.

Επίσης η

είναι διχοτόμος της ορθής γωνίας $\widehat {DSC}$ .

: Η πέμπτη ορθή.png (27.13 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές

β) Τώρα τα τρίγωνα , $CMP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DSM$ είναι όμοια και θα ισχύει : $\dfrac{{MP}}{{SM}} = \dfrac{{CP}}{{DM}} \Rightarrow \dfrac{{3a}}{{SM}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{{a\sqrt 2 }} \Rightarrow SM = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}\,\,\left( 1 \right)$

Επειδή , $TM = \sqrt {9{a^2} + {a^2}} = a\sqrt {10}$ , θα είναι : TS = TM - SM

που λόγω της προηγούμενης και της $\left( 1 \right)$ δίδει:

$TS = \dfrac{{2a\sqrt {10} }}{5}\,\,\left( 2 \right)$ , οπότε λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)\,\,\,,\,\,\boxed{\dfrac{{TS}}{{SM}} = \dfrac{2}{3}}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 27, 2024 9:19 pm
Η πέμπτη ορθή.pngΤο σημείο είναι το μέσο της πλευράς - του $2a \times a$ - ορθογωνίου . Προεκτείνουμε

τις πλευρές κατά τμήματα : . Η τέμνει την , στο σημείο .

α) Δείξτε ότι η γωνία : $\widehat{DSC}$ είναι ορθή ... β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TS}{SM}$ .

a) Με $PS \cap AT=Q$ είναι $BI=IC\Rightarrow AD=DQ=a$ (θ.κ.δέσμης) άρα TQ=a

Έστω

μεσοκάθετη της

την οποία οι MT,DS

τέμνουν στα H,N

αντίστοιχα

Είναι $\dfrac{QH}{AM}= \dfrac{a}{3a} \Rightarrow QH= \dfrac{a}{3} \Rightarrow HK= \dfrac{2a}{3}=2HQ$

Στο τρίγωνο KQC

με διατέμνουσα SHT

έχουμε

$\dfrac{KH}{HQ}$ . $\dfrac{QS}{SC}. \dfrac{TC}{TK}=1 \Rightarrow 2.\dfrac{QS}{SC}. 2=1 \Rightarrow \dfrac{QS}{SC}= \dfrac{1}{4}= (\dfrac{QD}{DC})^2 \Rightarrow DS \bot CQ$

b) Στο τρίγωνο TAM

με διατέμνουσα QSP

έχουμε

$\dfrac{KH}{HQ}. \dfrac{TS}{SM}. \dfrac{PM}{MA}=1 \Rightarrow 2.\dfrac{TS}{SM}. \dfrac{3}{4}=1 \Rightarrow \dfrac{TS}{SM}= \dfrac{2}{3}$

: Η πέμπτη ορθή.png (32.27 KiB) Προβλήθηκε 350 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 27, 2024 9:19 pm
Η πέμπτη ορθή.pngΤο σημείο είναι το μέσο της πλευράς - του $2a \times a$ - ορθογωνίου . Προεκτείνουμε
τις πλευρές κατά τμήματα : . Η τέμνει την , στο σημείο .
α) Δείξτε ότι η γωνία : $\widehat{DSC}$ είναι ορθή ... β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TS}{SM}$ .

Ας δούμε και μια διαφορετική αντιμετώπιση ξεκινώντας από το β) ερώτημα

: Η πέμπτη ορθή.png (18.87 KiB) Προβλήθηκε 309 φορές

β) Με $BP=\parallel DC=2a\Rightarrow BPCD$ παραλληλόγραμμο, οπότε $PN\equiv PC\parallel BD:\left( 1 \right)$ , όπου $N\equiv PC\cap AT$ και από το τρίγωνο $\vartriangle ANP\overset{AB=BP,BD\parallel PN}{\mathop{\Rightarrow }}\,AD=DN=a$
Από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle AMT$ με διατέμνουσα την PSN

θα έχουμε: $\dfrac{ST}{SM}\cdot \dfrac{PM}{PA}\cdot \dfrac{NA}{NT}=1\Rightarrow \dfrac{ST}{SM}=\dfrac{PA}{PM}\cdot \dfrac{NT}{NA}=\dfrac{4a}{3a}\cdot \dfrac{a}{2a}=\dfrac{2}{3}$ και το β) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

α) Από $\dfrac{ST}{SM}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{ST}{TM}=\dfrac{2}{5}:\left( 2 \right)$ . Αν $SK\bot AT\overset{SK\parallel AM}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{SK}{AM}=\dfrac{TK}{TA}=\dfrac{ST}{TM}=\dfrac{2}{5}\overset{AM=a,TA=3a}{\mathop{\Rightarrow }}\,$ $SK=\dfrac{2}{5}a,TK=\dfrac{6}{5}a\Rightarrow DK=2a-\dfrac{6}{5}a=\dfrac{4}{5}a$
Έτσι για τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle SKD,\vartriangle DAB$ έχουμε: $\dfrac{SK}{AD}=\dfrac{DK}{BA}=\dfrac{1}{2}$ και συνεπώς είναι όμοια και με κάθετες τις ομόλογες κάθετες πλευρές τους θα είναι κάθετες και οι υποτείνουσές τους , δηλαδή $SD\bot BD\overset{BD\parallel PC}{\mathop{\Rightarrow }}\,SD\bot PC$ και το α) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Η πέμπτη ορθή

Η πέμπτη ορθή

Re: Η πέμπτη ορθή

Re: Η πέμπτη ορθή

Re: Η πέμπτη ορθή

Μέλη σε σύνδεση