Τριπλή ισότητα

KARKAR · #1

: Τριπλή ισότητα.png (6.58 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

, έχουμε την δυνατότητα να επιλέξουμε σημεία S ,T

των πλευρών AB ,CD

αντίστοιχα , ώστε : BS=ST=TD=x

.

α) Βρείτε τον ελάχιστο λόγο $\lambda$ , για τον οποίο το πρόβλημα έχει λύση . Στην περίπτωση αυτή βρείτε το

.

β) Βρείτε τον ελάχιστο λόγο $\lambda$ , για τον οποίο υπάρχει λύση του προβλήματος με το

πλησιέστερα του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 05, 2020 12:10 pm
Τριπλή ισότητα.pngΣτο ορθογώνιο , έχουμε την δυνατότητα να επιλέξουμε σημεία των πλευρών

αντίστοιχα , ώστε : .

α) Βρείτε τον ελάχιστο λόγο $\lambda$ , για τον οποίο το πρόβλημα έχει λύση . Στην περίπτωση αυτή βρείτε το .

β) Βρείτε τον ελάχιστο λόγο $\lambda$ , για τον οποίο υπάρχει λύση του προβλήματος με το πλησιέστερα του .

Αν

, εύκολα από το σχήμα και το Πυθαγόρειο βλέπουμε ότι $a^2+(\lambda a-2x)^2= (\lambda a -x)^2$ . Άρα $3x^2-2\lambda a x + a^2=0$ . Έχουμε λύση αν και μόνον αν $D \ge 0$ , εδώ $4(\lambda ^2-3) \ge 0$ , άρα (το θετικό) $\lambda \ge \sqrt 3$ . Η τιμή του $x= \frac {1}{3}(\lambda \pm \sqrt {\lambda ^2-3})a$ άμεση από την εξίσωση.

Το β) ερώτημα περνά από ακριβώς τα ίδια βήματα.

Edit: Διόρθωσα την αρχική λύση γιατί είχα παραναγνώσει την εκφώνηση (είχα λάβει το

ως $\lambda a$ αντί για το

).

#3

Για το 1ο ερώτημα:

: Τριπλή ισότητα.png (6.58 KiB) Προβλήθηκε 562 φορές

Έστω $A(0,0), D(0,a), B(\lambda a, 0), C(\lambda a, a), a, \lambda > 0$ .

Έστω $S(t, 0), 0<t< \lambda a$ .

$\displaystyle SB = \lambda a - t\; = \;DT \Rightarrow T\left( {\lambda a - t,\;a} \right)$

Οπότε $\displaystyle ST = DT \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\lambda a - 2t} \right)}^2} + {a^2}} = \lambda a - t$

$\displaystyle \Leftrightarrow {\left( {\lambda a - 2t} \right)^2} + {a^2} = {\left( {\lambda a - t} \right)^2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow 3{t^2} - 2\lambda at + {a^2} = 0$

Θέλουμε η εξίσωση να έχει λύση, οπότε $\displaystyle \Delta = 4{\lambda ^2}{a^2} - 12{a^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\lambda ^2} \ge \ 3 \Leftrightarrow \lambda \ge \ \sqrt 3$ .

Για $\displaystyle \lambda = \sqrt 3$ είναι $\displaystyle t = \frac{{\sqrt 3 }}{3}a$ , οπότε $\displaystyle BS = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3}$ .

Για το 2ο ερώτημα:

: 05-12-2020 Γεωμετρία β.png (25.7 KiB) Προβλήθηκε 530 φορές

Πρέπει $SB =ST \ge a$ , ώστε η

να τέμνει την

.

Για την ελάχιστη τιμή SB = a

, είναι $\displaystyle AS = AB - SB \Leftrightarrow t = \left( {\lambda - 1} \right)a$ ,

Τότε $\displaystyle ST \bot DC$ , άρα ASTD

τετράγωνο, οπότε $\displaystyle t = a \Leftrightarrow \lambda = 2$ .

edit: Πρόσθεσα το 2ο ερώτημα 15:30.

Τριπλή ισότητα

Τριπλή ισότητα

Re: Τριπλή ισότητα

Re: Τριπλή ισότητα

Μέλη σε σύνδεση