Ο τυχοδιώκτης

KARKAR · #1

: Τυχοδιώκτης.png (13.14 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με :

, τα σημεία M,N

είναι τα μέσα των BC , AB

.

Ο κύκλος (M , MN)

τέμνει την διάμεσο

στο σημείο

. Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BS}{CS}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 12, 2026 10:51 am
Τυχοδιώκτης.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με : , τα σημεία είναι τα μέσα των .

Ο κύκλος τέμνει την διάμεσο στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BS}{CS}$ .

Είναι $c=2b, a=b\sqrt 5$ και $\displaystyle \cos C = \cos \theta = \frac{b}{a} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \cos 2\theta = - \frac{3}{5}.$ Με νόμο συνημιτόνου στο MBS

έχω:

: Ο τυχοδιώκτης.png (14.53 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές

$\displaystyle B{S^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{4} + 2\frac{{ab}}{4} \cdot \frac{3}{5}\mathop \Leftrightarrow \limits^{a = b\sqrt 5 } B{S^2} = \frac{{6{b^2}(5 + \sqrt 5 )}}{{20}}.$ Ομοίως βρίσκω, $\displaystyle C{S^2} = \frac{{6{b^2}(5 - \sqrt 5 )}}{{20}}.$

$\displaystyle \frac{{B{S^2}}}{{C{S^2}}} = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{{5 - \sqrt 5 }} = \frac{{{{(5 + \sqrt 5 )}^2}}}{{20}} = \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{4} = {\left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{ \frac{{BS}}{{CS}} = \Phi }$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Χαιρετώ!
Με χρήση του σχήματος:

: Χρυσοθήρας !.png (29.71 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές

Είναι $tan\omega =1/2$ άρα όπως ΕΔΩ #4, έχουμε $cos2\omega =3/5$ και $MH=\dfrac{3}{5} MS$

Θέτω για ευκολία και χωρίς βλάβη MS=MN=1

οπότε

και $MC=MB=\sqrt{5}$

Με την γενίκευση του Π.Θ για αμβλεία γωνία στο τρίγωνο MSB

παίρνουμε $SB^{2} =SM^{2}+MB^{2}+2SM\cdot MH=..=\dfrac{6}{5}\left ( 5+\sqrt{5} \right )$

και ομοίως για οξεία στο MSC

προκύπτει $SC^{2} =SM^{2}+MC^{2}-2SM\cdot MH=..=\dfrac{6}{5}\left ( 5-\sqrt{5} \right )$

Με διαίρεση κατά μέλη : $\dfrac{SB^{2}}{SC^{2}}=\dfrac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}=\Phi ^{2}$ και τελικά $\dfrac{SB}{SC}=\Phi$

Φιλικά, Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

[quote=KARKAR post_id=382100 time=1778572268 user_id=3451]
Τυχοδιώκτης.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με :

, τα σημεία M,N

είναι τα μέσα των BC , AB

.

Ο κύκλος (M , MN)

τέμνει την διάμεσο

στο σημείο

. Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BS}{CS}$ .
[/quote]

Εύκολα βρίσκουμε ότι $CK=LB=AS= \dfrac{a-b}{2}$ ,άρα ASKC,ASLB

ισοσκελή τραπέζια

Έτσι (Πτολεμαίος) $BS^2=cx+ (\dfrac{a-b}{2})^2$ και $CS^2=yb+ (\dfrac{a-b}{2})^2$

και λόγω ομοιότητας των $\triangle ABC,KSL \Rightarrow x=2y$

Άρα $BS^2=4by+ (\dfrac{a-b}{2})^2$ και $\dfrac{BS^2}{CS^2} = \dfrac{4by+ (\dfrac{a-b}{2})^2 }{by+(\dfrac{a-b}{2})^2 } (1)$

Αλλά $KS//AC \Rightarrow \dfrac{y}{b}= \dfrac{MK}{MC}= \dfrac{b}{a} \Rightarrow y= \dfrac{b^2}{a}$ και με αντικατάσταση στην (1)

και θέτοντας $a=b \sqrt{5}$ παίρνουμε εύκολα $\dfrac{BS}{CS} = \Phi$

[attachment=0]Ο τυχοδιώκης.png[/attachment]

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 12, 2026 10:51 am
Τυχοδιώκτης.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με : , τα σημεία είναι τα μέσα των .

Ο κύκλος τέμνει την διάμεσο στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BS}{CS}$ .

Είναι $a=b\sqrt{5},AM=\dfrac{a}{2}=\dfrac{b\sqrt{5}}{2},AS=\dfrac{b}{2}(\sqrt{5}-1)$

Με θεώρημα Stweart

στα τρίγωνα AMC,AMB

αντίστοιχα

$CS^{2}=\dfrac{b^{2}3\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}{10},(*), SB^{2}=\dfrac{b^{2}3\sqrt{5}(\sqrt{5}+1)}{10},(**), (*),(**) \Rightarrow \dfrac{SB}{SC}=\Phi$

Ο τυχοδιώκτης

Ο τυχοδιώκτης

Re: Ο τυχοδιώκτης

Re: Ο τυχοδιώκτης

Re: Ο τυχοδιώκτης

Re: Ο τυχοδιώκτης

Μέλη σε σύνδεση