Μέσος ανάλογος και καθετότητα

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα και καλή Ανάσταση!
Το τρίγωνο ABC

έχει γωνία $\angle A=80^o$ , ενώ AB=AC

Το σημείο $H \in BC$ ώστε το

να είναι μέσος ανάλογος των BH,BC

.

Το σημείο $E \in AC$ ώστε ο κυκλικός ημιδίσκος διαμέτρου

να έχει τριπλάσιο εμβαδόν από αυτό του κυκλικού ημιδίσκου με διάμετρο την

Να εξεταστεί η καθετότητα των

Αν κάποιος φίλος ευκαιρεί, ας προσθέσει,(τον ευχαριστώ ιδιαιτέρως) ,το κατάλληλο σχήμα.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Απρ 10, 2026 11:52 am
Καλημέρα και καλή Ανάσταση!
Το τρίγωνο έχει γωνία $\angle A=80^o$ , ενώ

Το σημείο $H \in BC$ ώστε το να είναι μέσος ανάλογος των .

Το σημείο $E \in AC$ ώστε ο κυκλικός ημιδίσκος διαμέτρου να έχει τριπλάσιο εμβαδόν από αυτό του κυκλικού ημιδίσκου με διάμετρο την

Να εξεταστεί η καθετότητα των

Αν κάποιος φίλος ευκαιρεί, ας προσθέσει,(τον ευχαριστώ ιδιαιτέρως) ,το κατάλληλο σχήμα.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

: Μέσος ανάλογος και καθετότητα.png (21.41 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές

Dimessi · #3

$\frac{1}{2}\pi \left ( \frac{BC}{2} \right )^{2}=3\cdot \frac{1}{2}\pi \left ( \frac{AE}{2} \right )^{2}\Rightarrow BC=AE\sqrt{3}$

$BH\cdot BC=AB^2\Rightarrow \angle BAH=\angle C=50^\circ \Rightarrow \angle HAE=30^\circ.$

$\left ( \star \right ):b^2-ab\sqrt{3}+\frac{a^{3}}{b\sqrt{3}}=b^2\left ( 1-2\sqrt{3}\cos 50^\circ+\frac{8\cos^350^\circ}{\sqrt{3}} \right )=b^2\cdot \frac{2\cos150^\circ+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=0$

$b(BE^2+AE \cdot EC)=EC \cdot b^2+AE \cdot a^2\Rightarrow BE^2=\frac{\left ( b-\frac{a}{\sqrt{3}} \right )b^{2}+\frac{a}{\sqrt{3}}a^2}{b}-\frac{a}{\sqrt{3}}\left ( b-\frac{a}{\sqrt{3}} \right )$ $=b^2-\frac{2ab}{\sqrt{3}}+\frac{a^{2}}{3}+\frac{a^{3}}{b\sqrt{3}}\overset{\left ( \star \right )}=\frac{a^{2}}{3}+\frac{ab}{\sqrt{3}}=AE^{2}+AE\cdot AB,$

από όπου διαπιστώνουμε ότι $\angle BAE=2\angle ABE \Rightarrow \angle AEB=60^\circ=90^\circ-\angle HAE \Rightarrow AH \perp EB.$

Μέσος ανάλογος και καθετότητα

Μέσος ανάλογος και καθετότητα

Re: Μέσος ανάλογος και καθετότητα

Re: Μέσος ανάλογος και καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση