Δυσκολότερο από ότι φαίνεται

KARKAR · #1

: Δυσκολότερο από ότι φαίνεται.png (12.11 KiB) Προβλήθηκε 181 φορές

Στις πλευρές AB , BC

του τετραγώνου ABCD

, θεωρούμε σημεία P , T

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : AP =BT

. Οι

, τέμνονται στο

.

Βρείτε τον λόγο : $\dfrac{x}{a}$ , έτσι ώστε : $(APSD)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$ .

Εξισώσεις έως και τετάρτου βαθμού θεωρούνται επιλύσιμες ( έστω και με χρήση λογισμικού ) .

Nikitas K. · #2

: Δυσκολότερο από ότι φαίνεται.png (32.24 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές

Τα τρίγωνα $\triangle DCT$ και $\triangle PCB$ είναι ίσα άρα το τρίγωνο $\triangle CDS$ είναι όμοιο με το τρίγωνο $\triangle CDT$ από όπου προκύπτει ότι:

$\dfrac{(CDS)}{(CDT)} = \left(\dfrac{CD}{DT}\right)^2 \Leftrightarrow (CDS) = \dfrac{a(a-x)}{2} \cdot \dfrac{a^2}{a^2 + (a-x)^2}$

Ισχύει:

$(APCD) = (APSD) + (CDS) \Leftrightarrow a \cdot \dfrac{a+x}{2} = \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{a(a-x)}{2} \cdot \dfrac{a^2}{a^2 + (a-x)^2}$

Επομένως με χρήση λογισμικού προκύπτει ότι:

$\displaystyle {\dfrac{x}{a} = \frac{1}{3} \left( 2 - 5 \sqrt[3]{\frac{2}{3\sqrt{69} - 11}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(3\sqrt{69} - 11\right)} \right)\approx 0.43016}~\blacksquare{}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 30, 2026 6:04 am
Δυσκολότερο από ότι φαίνεται.pngΣτις πλευρές του τετραγώνου , θεωρούμε σημεία

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Οι , τέμνονται στο .

Βρείτε τον λόγο : $\dfrac{x}{a}$ , έτσι ώστε : $(APSD)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$ .

Εξισώσεις έως και τετάρτου βαθμού θεωρούνται επιλύσιμες ( έστω και με χρήση λογισμικού ) .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle {E_1} = (APCD) - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{a + x}}{2}a - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{ax}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{SF=x}$

: Δυσκολότερο απ' ότι φαίνεται.png (17.6 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές

$\displaystyle \frac{x}{{a - x}} = \frac{{DS}}{{DT}} \Leftrightarrow \frac{x}{{a - 2x}} = \frac{{DS}}{{ST}} = \frac{{{a^2}}}{{{{(a - x)}^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x^3-2ax^2+3a^2x-a^3=0}$

απ' όπου προκύπτει το αποτέλεσμα που έγραψε πιο πάνω ο Νικήτας.

KARKAR · #4

Απολαυστικές λύσεις σε ένα - θεωρώ - στριφνό πρόβλημα . Ας μου επιτραπεί να εκφράσω τον θαυμασμό μου

για τον δεξιοτεχνικό χειρισμό του θέματος από τον Γιώργο Βισβίκη . Απίθανος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 30, 2026 6:04 am
Δυσκολότερο από ότι φαίνεται.pngΣτις πλευρές του τετραγώνου , θεωρούμε σημεία

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Οι , τέμνονται στο .

Βρείτε τον λόγο : $\dfrac{x}{a}$ , έτσι ώστε : $(APSD)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$ .

Εξισώσεις έως και τετάρτου βαθμού θεωρούνται επιλύσιμες ( έστω και με χρήση λογισμικού ) .

Είναι $\dfrac{E}{2}=(DSA)+(SAP)= (DSA)+(CSB) \Rightarrow (SAP)=(CSB) \Rightarrow (ASB)=(PCB)$

Άρα $a.h=a.(a-x) \Rightarrow h=a-x=EB \Rightarrow ET=a-2x$

$ES//CD \Rightarrow \dfrac{y}{a}= \dfrac{a-2x}{a-x} \Leftrightarrow y= \dfrac{a(a-2x)}{a-x}$

Έτσι $(SAP)=(CSB) \Rightarrow x(a-x)=ay \Rightarrow x(a-x)= \dfrac{a^2(a-2x)}{a-x} \Leftrightarrow x^3-2ax^2+3a^2x-a^3=0$ κ.λ.π

: Δυσκολοτερο απ ότι φαίνεται.png (20.2 KiB) Προβλήθηκε 48 φορές

Δυσκολότερο από ότι φαίνεται

Δυσκολότερο από ότι φαίνεται

Re: Δυσκολότερο από ότι φαίνεται

Re: Δυσκολότερο από ότι φαίνεται

Re: Δυσκολότερο από ότι φαίνεται

Re: Δυσκολότερο από ότι φαίνεται

Μέλη σε σύνδεση