Εφαπτομένη χωρίς επαφή

KARKAR · #1

: Εφαπτομένη χωρίς επαφή.png (19 KiB) Προβλήθηκε 79 φορές

Τα σημεία M , N

είναι τα μέσα των κάθετων πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου ABC

. Με πλευρές τις AC , BC

σχεδιάζουμε τα εξωτερικά τετράγωνα ACDE

και

. Αν :

, υπολογίστε την $\tan\hat{C}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 27, 2026 12:27 pm
Εφαπτομένη χωρίς επαφή.pngΤα σημεία είναι τα μέσα των κάθετων πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου . Με πλευρές τις

σχεδιάζουμε τα εξωτερικά τετράγωνα και . Αν : , υπολογίστε την $\tan\hat{C}$ .

: Εφαπτ χωρίς.png (26 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές

.
Aν $AB=2a, \, AC=2b$ , εύκολα βλέπουμε ότι τα υπόλοιπα μεγέθη του σχήματος είναι όπως σημειώνονται. Ειδικά είναι M(a,0), N(0,b), Z(2a+2b,2a), Q(-2b,2b)

.

Άρα η υπόθεση MD^2=NZ^2

γράφεται

. Ισοδύναμα 3b^2=7a^2

ή αλλιώς $\dfrac {a}{b} =\sqrt { \dfrac {3}{7} }$ και άρα

$\tan \theta = \dfrac {2a}{2b} =\sqrt { \dfrac {3}{7} } = \boxed { \dfrac {\sqrt {21}}{7} }}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 27, 2026 12:27 pm
Εφαπτομένη χωρίς επαφή.pngΤα σημεία είναι τα μέσα των κάθετων πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου . Με πλευρές τις

σχεδιάζουμε τα εξωτερικά τετράγωνα και . Αν : , υπολογίστε την $\tan\hat{C}$ .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο

$EDM,DM^{2}=ED^{2}+EM^{2}\Rightarrow DM^{2}=2b^{2}+\dfrac{c^{2}}{4}+cb,(1)$

$ZL\perp AB,ACB=\Theta ZL,ZL=c,LB=b,\dfrac{AZ^{2}}{2}=c^{2}+\dfrac{b^{2}}{2}+cb,(2)$

Από θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο

$ACZ,NZ^{2}=\dfrac{3b^{2}}{4}+c^{2}+\dfrac{1}{2}AZ^{2}\Rightarrow NZ^{2}=2c^{2}+cb+\dfrac{5b^{2}}{4},(3), (1) ,(3)\Rightarrow 3b^{2}=7c^{2}\Leftrightarrow \dfrac{c}{b}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Εφαπτομένη χωρίς επαφή

Εφαπτομένη χωρίς επαφή

Re: Εφαπτομένη χωρίς επαφή

Re: Εφαπτομένη χωρίς επαφή

Μέλη σε σύνδεση