Απαιτητικό ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Απαιτητικό ορθογώνιο.png (12.5 KiB) Προβλήθηκε 275 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

με κέντρο

, η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{BCD}$ , τέμνει την

στο σημείο

και την

στο

. Να κατασκευαστεί το ορθογώνιο έτσι , ώστε : $\widehat{SOC}=90^0$ και να εξετασθεί , αν

στην περίπτωση αυτή , είναι : CT=CB

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 20, 2026 11:14 am
Απαιτητικό ορθογώνιο.pngΣτο ορθογώνιο με κέντρο , η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{BCD}$ , τέμνει την στο σημείο

και την στο . Να κατασκευαστεί το ορθογώνιο έτσι , ώστε : $\widehat{SOC}=90^0$ και να εξετασθεί , αν

στην περίπτωση αυτή , είναι : .

Αν

είναι η μεγάλη και

η μικρή πλευρά του ορθογωνίου, τότε προφανώς SB=BC=b,

Από το εγγράψιμο SBCO,

$\displaystyle (a - b)a = \frac{{A{C^2}}}{2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \Leftrightarrow {a^2} - 2ab - {b^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{a = b(1 + \sqrt 2 )}$ (1)

Άρα το ορθογώνιο κατασκευάζεται εύκολα.

: Απαιτητικό ορθογώνιο.png (17.12 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές

Από τα όμοια τρίγωνα AOS, ACB

είναι $\displaystyle \frac{{OS}}{b} = \frac{{AO}}{a} \Leftrightarrow OS = \frac{{b\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{2a}}$

Θεώρημα διχοτόμου στο OSC:

$\displaystyle \frac{{TC}}{{TS}} = \frac{{OC}}{{OS}} \Leftrightarrow \frac{{TC}}{{b\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {1 + \dfrac{b}{a}} \right)}} = \frac{a}{{a + b}} \Leftrightarrow TC = \frac{{ab\sqrt 2 }}{{a + b}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{TC=b}$

Εναλλακτικά (γυμνασιακή λύση):

α) Από το ισοσκελές ASC

είναι $\displaystyle AS = SC \Leftrightarrow a - b = b\sqrt 2 \Leftrightarrow a = b(1 + \sqrt 2 )$

β) Η

είναι διχοτόμος του ASC,

άρα $O\widehat ST=O\widehat TS=67,5^\circ=C\widehat TB=C\widehat BT,$ κ.λπ.

duamba · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 20, 2026 11:14 am
Στο ορθογώνιο με κέντρο , η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{BCD}$ , τέμνει την στο σημείο

και την στο . Να κατασκευαστεί το ορθογώνιο έτσι , ώστε : $\widehat{SOC}=90^0$ και να εξετασθεί , αν

στην περίπτωση αυτή , είναι : .

Καλησπέρα,

Για την κατασκευή, επειδή $\angle OAS = \angle OCS$ και $\angle ACD = \angle CAB = \angle \frac{SCB}{2}$ αρκεί να διχοτομήσω μια ορθή ( DCB

), μετά να διχοτομίσω το μισό της ( DCS

) και να πάρω στη δεύτερη διχοτόμο τυχαίο σημείο

ωστέ να βρώ το μισό του

ως κέντρο του ορθογωνίου κ.ο.κ.

: apaititiko-orthogonio.png (17.78 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 20, 2026 11:14 am
Απαιτητικό ορθογώνιο.pngΣτο ορθογώνιο με κέντρο , η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{BCD}$ , τέμνει την στο σημείο

και την στο . Να κατασκευαστεί το ορθογώνιο έτσι , ώστε : $\widehat{SOC}=90^0$ και να εξετασθεί , αν

στην περίπτωση αυτή , είναι : .

α) Κατασκευή

Αρκεί να κατασκευάσω το αντίστοιχο ορθογώνιο τρίγωνο , $\vartriangle ABC$ .

Θεωρώ ορθογώνιο και ισοσκελές $\vartriangle BSC\,\,\,\left( {BS = BC} \right)$ . Το ημικύκλιο που είναι εξωτερικά του $\vartriangle ABC$ τέμνει τη μεσοκάθετη

του

στο

. Οι προεκτάσεις των , $BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CO$ τέμνονται στο

. Οι παράλληλες από τα $C,\,\,A$ προς τις , $SB\,\,,\,\,BC$

τέμνονται στο

.

: Απαιιτητικό ορθογώνιο.png (29.09 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές

β) Η $\theta = 45^\circ$ ( από κατασκευή του $\vartriangle BCS$ ) . Η επίκεντρη γωνία, $\omega = 135^\circ$ ( παραπληρωματική της $\theta$ )

η αντίστοιχη εγγεγραμμένη , $\phi = 67,5^\circ$ , συνεπώς : $\boxed{CT = CB}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 20, 2026 11:14 am
Απαιτητικό ορθογώνιο.pngΣτο ορθογώνιο με κέντρο , η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{BCD}$ , τέμνει την στο σημείο

και την στο . Να κατασκευαστεί το ορθογώνιο έτσι , ώστε : $\widehat{SOC}=90^0$ και να εξετασθεί , αν

στην περίπτωση αυτή , είναι : .

Είναι $AS=CS\Rightarrow a-b=b \sqrt{2} \Rightarrow a=b( \sqrt{2}+1)$ και το ABCD

κατασκευάζεται εύκολα

Ισχύει $\dfrac{CT}{TS}= \dfrac{a}{b}= \sqrt{2}+1$ και $CT+TS=b \sqrt{2}$ απ όπου εύκολα παίρνουμε CT=b

: Απαιτητικό ορθογώνιο.png (8.99 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές

Απαιτητικό ορθογώνιο

Απαιτητικό ορθογώνιο

Re: Απαιτητικό ορθογώνιο

Re: Απαιτητικό ορθογώνιο

Re: Απαιτητικό ορθογώνιο

Re: Απαιτητικό ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση