Πολυλογία

KARKAR · #1

: Πολυλογία.png (20.85 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD , (a>b)

, επιλέξτε σημείο

της

και σημείο

της

, τέτοια ώστε

τα τρία γωνιακά ορθογώνια τρίγωνα να είναι ισεμβαδικά . Υπολογίστε τώρα τον λόγο : $\dfrac{(TAS)}{(ABCD)}$ .

Επιπλέον υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{a}{b}$ , ώστε το τρίγωνο TAS

να είναι ισοσκελές ( TA=TS )

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 06, 2024 9:01 am
Πολυλογία.pngΣτο ορθογώνιο , επιλέξτε σημείο της και σημείο της , τέτοια ώστε

τα τρία γωνιακά ορθογώνια τρίγωνα να είναι ισεμβαδικά . Υπολογίστε τώρα τον λόγο : $\dfrac{(TAS)}{(ABCD)}$ .

Επιπλέον υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{a}{b}$ , ώστε το τρίγωνο να είναι ισοσκελές .

Mε

όπως στο σχήμα (και ειδικά 0<x<a,0<y<b

), η ισότητα των εμβαδών δίνει

$\tfrac {1}{2} bx=\tfrac {1}{2} (a-x)y=\tfrac {1}{2} (b-y)a$

Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε

$x =\tfrac {1}{2} (3-\sqrt 5)a$ και $y =\tfrac {1}{2} (\sqrt 5-1)b$ (άμεσο)

Ειδικά το καθένα από τα ίσα τρίγωνα έχει εμβαδόν όσο το πρώτο, εδώ $\tfrac {1}{2} bx= \tfrac {1}{4} (3-\sqrt 5) ab$

O ζητούμενος λόγος είναι

$\dfrac{(TAS)}{(ABCD)}= \dfrac{(ABCD) - 3 (ADT)}{(ABCD)} = \dfrac{ab-\tfrac {1}{4} (3-\sqrt 5) ab }{ab}=\tfrac {1}{4}(1+\sqrt 5)= \tfrac {1}{2}\phi$

Aν TA=TS

τότε το κόκκινο και το γκρι τρίγωνο είναι ίσα, οπότε x=y

ή αλλιώς $\tfrac {1}{2} (3-\sqrt 5)a =\tfrac {1}{2} (\sqrt 5-1)b$ από όπου

$\dfrac {a}{b} =\dfrac {\sqrt 5-1}{3-\sqrt 5}=\phi$

(Edit: Διόρθωσα λογιστική απροσεξία, την οποία μου επισήμανε ο θεματοθέτης Θανάσης. Τον ευχαριστώ θερμά.)

Πολυλογία

Πολυλογία

Re: Πολυλογία

Μέλη σε σύνδεση