Παραϊσόπλευρο

KARKAR · #1

: Παραϊσόπλευρο.png (19.64 KiB) Προβλήθηκε 852 φορές

Προεκτείνουμε την πλευρά

του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

, κατά τμήμα

και σχεδιάζουμε

το παραλληλόγραμμο ACDE

. Σχεδιάζουμε επίσης τον κύκλο (C , D , E )

, κέντρου

. Η ευθεία

, τέμνει την

στο σημείο

. Δείξτε ότι : KS= 2DK

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 04, 2024 6:36 pm
Παραϊσόπλευρο.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου , κατά τμήμα και σχεδιάζουμε

το παραλληλόγραμμο . Σχεδιάζουμε επίσης τον κύκλο , κέντρου . Η ευθεία

, τέμνει την στο σημείο . Δείξτε ότι : .

Το τετράπλευρο KEAC

είναι εγγράψιμο γιατί έχει τις γωνίες του στα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A$ παραπληρωματικές ( $\widehat {EKC} = 2\widehat {EDC} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$ ).

Επειδή KE = KC = R

, η διαγώνιος του ,

, διχοτομεί την $\widehat {CAE}$ .

: Παραϊσόπλευρο_ok.png (34.52 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές

Φέρνω από το

, παράλληλη στην

και τέμνει τις $AB\,\,,\,\,AC$ στα $Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H$ , ενώ ο κύκλος $\left( {K,R} \right)$ , την $KS\,\,$ στο

Η

είναι μεσοκάθετος στο

και άρα

. Αμεση συνέπεια : $\vartriangle HCT \to \left( {120^\circ ,30^\circ ,30^\circ } \right)$ οπότε , TH//AB

.

Αφου το

είναι μέσο της υποτείνουσας

του ορθογωνίου $\vartriangle AZK$ θα είναι και το

μέσο του

.

Οπότε : $\displaystyle \boxed{ST = TK = KD}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 04, 2024 6:36 pm
Παραϊσόπλευρο.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου , κατά τμήμα και σχεδιάζουμε

το παραλληλόγραμμο . Σχεδιάζουμε επίσης τον κύκλο , κέντρου . Η ευθεία

, τέμνει την στο σημείο . Δείξτε ότι : .

Υπόδειξη .
.

: Παραϊσόπλευρο_new_ok.png (44.57 KiB) Προβλήθηκε 736 φορές

.
Το τετράπλευρο ACKZ

είναι χαρταετός και το ASKZ

εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

. το κέντρο του κύκλου αυτού είναι

Πάνω στον $\left( {K,R} \right)$ και μάλιστα το μέσο του

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 04, 2024 6:36 pm
Παραϊσόπλευρο.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου , κατά τμήμα και σχεδιάζουμε

το παραλληλόγραμμο . Σχεδιάζουμε επίσης τον κύκλο , κέντρου . Η ευθεία

, τέμνει την στο σημείο . Δείξτε ότι : .

Η

τεμνει τον κύκλο (K)

στο

οπότε εύκολα προκύπτει ότι τα τρίγωνα ZDL,AEL

είναι ισόπλευρα

και $\angle ZKL=120^0 \Rightarrow AZKL$ εγγράψιμμο.

Είναι

μεσοκάθετη της

κι έστω

οπότε

συνευθειακά και προφανώς

$\triangle AQL= \triangle EZL \Rightarrow AQ=ZL$ άρα AZLQ

ισοσκελές τραπέζιο.

Τελικά A,Z,K,L,Q

ομοκυκλικά και ο κύκλος

είναι ίσος με τον (K)

αφού η κοινή χορδή τους

φαίνεται από τα A,E

υπό γωνία

, με το κέντρο του επί της

.Επομένως

: Παραισόπλευρο.png (92.92 KiB) Προβλήθηκε 655 φορές

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 04, 2024 6:36 pm
Παραϊσόπλευρο.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου , κατά τμήμα και σχεδιάζουμε

το παραλληλόγραμμο . Σχεδιάζουμε επίσης τον κύκλο , κέντρου . Η ευθεία

, τέμνει την στο σημείο . Δείξτε ότι : .

Εστω

$AB=a,\hat{LAN}=\omega ,$ , KD=KN=R,

θα αποδειχθεί ότι

SN=R,

Το τετράπλευρο

CDEL

είναι ισοσκελές τραπέζιο

, CD//LE,LC=DE,

,και το τρίγωνο

ACL

Ισόπλευρο ,

$\hat{NCD}=90,\hat{TCL}=30^{0},NL=KL=NK=R,\hat{ALN}=60-\omega =\hat{LAN},$

εφόσον η

είναι μεσοκάθετος στην

. $\hat{SAN}=120-\omega ,\hat{ASN}=120-\omega \Rightarrow AN=SN=R$

Παραϊσόπλευρο

Παραϊσόπλευρο

Re: Παραϊσόπλευρο

Re: Παραϊσόπλευρο

Re: Παραϊσόπλευρο

Re: Παραϊσόπλευρο

Μέλη σε σύνδεση