Ισεμβαδικές δυσκολίες

KARKAR · #1

: Ισεμβαδικές δυσκολίες .png (16.7 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Το ορθογώνιο ABCD

έχει διαστάσεις $a \times b$ , ( εν προκειμένω : $8 \times 2$ ) . Στο "άνω" ημιεπίπεδο και εξωτερικά

του ορθογωνίου , βρείτε σημείο

, τέτοιο ώστε αν οι SA , SB

τέμνουν την

, στα σημεία P , T

αντίστοιχα ,

να προκύπτει η ισότητα : (SPT)=(ABCD)

. Μπορείτε να κάνετε το ίδιο για οποιαδήποτε θετικά a , b

;

Pi3.1415 · #2

Φέρω την κάθετη SR προς το ΑΒ. Ορίζω Κ το σημείο τομής της SR με την DC. Αρχικά, θα βρω το PT συναρτήσει του a,b,SR. Από την ομοιότητα των τριγώνων SPT, SAB έχουμε: $\frac{PT}{a}=\frac{SK}{SR}\Rightarrow PT=\frac{a\cdot SK}{SR}$ . Παρατηρώ πως το PT εξαρτάται μόνο από το ύψος SR και όχι απο το πόσο αριστερά η δεξιά βρίσκεται το σημείο S. Άρα τα σημεία S όπου τα εμβαδά είναι ίσα βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία παράλληλη στο DC και αρκεί να βρούμε μόνο το ύψος SK του τριγώνου SPT. $(SPT)=SK \cdot PT \cdot \frac{1}{2}=\frac{a \cdot SK^2}{2SR}=\frac{a \cdot SK^2}{2SK+2b}=a \cdot b \Leftrightarrow \frac{SK^2}{2SK+2b}=b\Leftrightarrow SK^2=2b^2+2b\cdot SK$ Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε πως $SK=\frac{2\cdot b}{\sqrt{3}-1}$
Σχήμα:https://www.geogebra.org/calculator/fckwewjq

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 11, 2024 1:53 pm
Ισεμβαδικές δυσκολίες .pngΤο ορθογώνιο έχει διαστάσεις $a \times b$ , ( εν προκειμένω : $8 \times 2$ ) . Στο "άνω" ημιεπίπεδο και εξωτερικά

του ορθογωνίου , βρείτε σημείο , τέτοιο ώστε αν οι τέμνουν την , στα σημεία αντίστοιχα ,

να προκύπτει η ισότητα : . Μπορείτε να κάνετε το ίδιο για οποιαδήποτε θετικά ;

Ανάλυση:

Έστω λυμένο το πρόβλημα . το εμβαδόν του $\vartriangle SPT$ δεν αλλάζει αν η κορυφή του

μετακινηθεί παράλληλα στην

.

Θεωρώ λοιπόν ότι το

ταυτίζεται με το

και θέτω $DS = h\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DT = x$ . Αρκεί να υπολογίσω μια από αυτές τις ποσότητες.

Αν

το μέσο του AB = a

και η

τέμνει την ημιευθεία

στο

θα ισχύουν ταυτόχρονα:

$\left\{ \begin{gathered} hx = 2ab \hfill \\ \dfrac{h}{b} = \dfrac{x}{{a - x}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{h}{b} = \dfrac{{2a}}{x} \hfill \\ \dfrac{h}{b} = \dfrac{x}{{a - x}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα : $\dfrac{{2a}}{x} = \dfrac{x}{{a - x}} \Rightarrow {x^2} + 2ax - 2{a^2} = 0 \Rightarrow \boxed{x = a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}$ .

: ισεμβαδικές δυσκολίες.png (11.33 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

Κατασκευή .

Πάνω στην

θεωρώ σημείο

με $DT = a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)$ . Η

τέμνει την ευθεία

σε σημείο ${S_0}$ .

Η μοναδική παράλληλη από το ${S_0}$ προς την

είναι ο τόπος όλων των σημείων

που θέλω .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 11, 2024 1:53 pm
Ισεμβαδικές δυσκολίες .pngΤο ορθογώνιο έχει διαστάσεις $a \times b$ , ( εν προκειμένω : $8 \times 2$ ) . Στο "άνω" ημιεπίπεδο και εξωτερικά

του ορθογωνίου , βρείτε σημείο , τέτοιο ώστε αν οι τέμνουν την , στα σημεία αντίστοιχα ,

να προκύπτει η ισότητα : . Μπορείτε να κάνετε το ίδιο για οποιαδήποτε θετικά ;

Είναι $\boxed{2(SPT)=2ab=PT\cdot h}$ (1)

: Ισεμβαδικές δυσκολίες.png (10.06 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές

$\displaystyle \frac{{(SPE)}}{{(ADP)}} = \frac{{{h^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{(SET)}}{{(BCT)}} = \frac{{(SPT)}}{{(ADP) + (BCT)}} = \frac{{(SPT)}}{{(ABCD) - (APTB)}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$

$\displaystyle \frac{{{h^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{ab}}{{ab - \frac{{a + PT}}{2}b}} = \frac{{2a}}{{a - PT}} \Leftrightarrow 2a{b^2} = a{h^2} - PT{h^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} 2a{b^2} = a{h^2} - 2abh$

$\displaystyle {h^2} - 2bh - 2{b^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{h=b(\sqrt 3+1)}$ Άρα το

βρίσκεται σε ευθεία παράλληλη στην

και σε απόσταση $b(\sqrt 3+1)$ από αυτήν.

Ισεμβαδικές δυσκολίες

Ισεμβαδικές δυσκολίες

Re: Ισεμβαδικές δυσκολίες

Re: Ισεμβαδικές δυσκολίες

Re: Ισεμβαδικές δυσκολίες

Μέλη σε σύνδεση