Το οχτάρι

KARKAR · #1

: Το οχτάρι.png (9.93 KiB) Προβλήθηκε 797 φορές

Στα άκρα του τμήματος AB=6

, υψώνουμε κάθετες ημιευθείες

και

.

Επί της

κινείται σημείο

. Η μεσοκάθετη του

, τέμνει το

στο

και την

στο

. Για ποια θέση του

, προκύπτει : PT=8

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 12, 2020 7:50 pm
Το οχτάρι.pngΣτα άκρα του τμήματος , υψώνουμε κάθετες ημιευθείες και .

Επί της κινείται σημείο . Η μεσοκάθετη του , τέμνει το στο

και την στο . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

Η πιο κάτω λύση «φαίνεται» να είναι εκτός φακέλου αλλά οι σχέσεις που γράφω μπορούν να δειχθούν και με όμοια τρίγωνα .

: Το οχτάρι.png (17.24 KiB) Προβλήθηκε 756 φορές

Ας είναι

το μέσο του

. Επειδή η

είναι μεσοκάθετος στο

, θα είναι :

$TS = TB\,\,,\,\,PS = PB\,\,,\,\,\widehat {{a_1}} = \,\widehat {{a_2}}$ με άμεσες συνέπειες : $PS \bot ST$ και $\,\widehat {{a_1}} = \,\widehat {{a_2}} = \,\widehat {{a_3}}$ .

Θέτω $PB = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PM = y \Rightarrow AP = 6 - x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MT = 8 - y$ .

Ταυτόχρονα ισχύουν: $\left\{ \begin{gathered} BP \cdot BA = BM \cdot 2BM = 2B{M^2} \hfill \\ P{B^2} = PM \cdot PT \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 6x = BM \cdot 2BM = 2B{M^2} = 2PM \cdot PT = 2y\left( {8 - y} \right) \hfill \\ {x^2} = 8y \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Και άρα δεκτές τιμές: $x = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = 2 \Rightarrow \boxed{AS = 2\sqrt 3 }$ ή

$x = 2\sqrt {13} - 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = 8 - 2\sqrt {13}$ και $\boxed{AS = \sqrt {24\sqrt {13} - 60} }$

: Το οχτάρι_δεύτερη τιμή.png (19.53 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές

#3

Με τους συμβολισμούς του σχήματος έχω $\boxed{x^2+y^2=64}$ (1)

και $\boxed{AS^2=12x-36}$ (2)

: 8άρι.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 728 φορές

Είναι ακόμα, $\displaystyle B{S^2} = 36 + A{S^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} B{S^2} = 12x$ και BM^2=3x

και από τα όμοια τρίγωνα MSP, MBT:

$\displaystyle \frac{x}{y} = \frac{{PM}}{{MB}} = \frac{{\sqrt {{x^2} - 3x} }}{{\sqrt {3x} }}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{{{x^2}}}{{64 - {x^2}}} = \frac{{{x^2} - 3x}}{{3x}} = \frac{{x - 3}}{3} \Leftrightarrow {x^3} - 64x + 192 = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle {x^3} - 64 - 64x + 256 = 0 \Leftrightarrow (x - 4)({x^2} + 4x + 16) - 64(x - 4) = 0 \Leftrightarrow$

$\boxed{x=4}$ ή $\displaystyle {x^2} + 4x - 48 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = 2\left( {\sqrt {13} - 1} \right)}$ Αντικαθιστώντας τώρα στη (2)

παίρνω αντίστοιχα

τις τιμές, $\boxed{AS=2\sqrt 3}$ ή $\boxed{AS=\sqrt{24\sqrt{13}-60}}$

Για Γυμνάσιο Θαλή/Ευκλείδη την βρίσκω κάπως υπερβολική.

Το οχτάρι

Το οχτάρι

Re: Το οχτάρι

Re: Το οχτάρι

Μέλη σε σύνδεση