J478 MATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα J478 από το δεύτερο τεύχος του Mathematical Reflections του 2019.
Φυσικά παρήλθε η καταληκτική ημερομηνία υποβολής λύσεων...
Το θέμα προτείνει ο Nguyen Viet Hung , Hanoi University of Science από το Βιετνάμ.

Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ABC

ισχύει η παρακάτω ανισότητα:

$4\left ( l_{a}^{2}+ l_{b}^{2}+l_{c}^{2}\right )\leq \left ( a+b+c \right )^{2}$

όπου $l_{a}, l_{b},l_{c}$ οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου.

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 16, 2019 8:22 am
Σας προτείνω το θέμα J478 από το δεύτερο τεύχος του Mathematical Reflections του 2019.
Φυσικά παρήλθε η καταληκτική ημερομηνία υποβολής λύσεων...
Το θέμα προτείνει ο Nguyen Viet Hung , Hanoi University of Science από το Βιετνάμ.

Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει η παρακάτω ανισότητα:

$4\left ( l_{a}^{2}+ l_{b}^{2}+l_{c}^{2}\right )\leq \left ( a+b+c \right )^{2}$

όπου $l_{a}, l_{b},l_{c}$ οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου.

Καλημέρα Τηλέμαχε!

Υπάρχει στο βιβλίο του Ιωάννου Φ. Πανάκη, ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ, Α ΤΟΜΟΣ (έκδοση 1969), σελίδα 118.
Θα την γράψω αργότερα αν δεν απαντηθεί.

#3

Όντως, είναι γνωστότατη και απλή. Είναι άμεση συνέπεια της γνωστής

$\displaystyle{\ell _a \leq \sqrt{s(s-a)}.}$

Ορέστης Λιγνός · #4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 16, 2019 8:22 am
Σας προτείνω το θέμα J478 από το δεύτερο τεύχος του Mathematical Reflections του 2019.
Φυσικά παρήλθε η καταληκτική ημερομηνία υποβολής λύσεων...
Το θέμα προτείνει ο Nguyen Viet Hung , Hanoi University of Science από το Βιετνάμ.

Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει η παρακάτω ανισότητα:

$4\left ( l_{a}^{2}+ l_{b}^{2}+l_{c}^{2}\right )\leq \left ( a+b+c \right )^{2}$

όπου $l_{a}, l_{b},l_{c}$ οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου.

Είναι, $\ell_a ^2=\dfrac{4bcs(s-a)}{(b+c)^2}$ , και τα κυκλικά, οπότε αρκεί $\displaystyle \sum \dfrac{4bc(b+c-a)}{(b+c)^2} \leqslant a+b+c$ .

Όμως, $\displaystyle \sum \dfrac{4bc(b+c-a)}{(b+c)^2} \leqslant \sum (b+c-a)=a+b+c$ , και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

J478 MATHEMATICAL REFLECTIONS

J478 MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: J478 MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: J478 MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: J478 MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση