Εφαπτομένη λόγω ελαχιστοποίησης

KARKAR · #1

: Εφαπτομένη λόγω ελαχιστοποίησης.png (8.53 KiB) Προβλήθηκε 820 φορές

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ η πλευρά

έχει μήκος

και μέσο το σημείο

.

Επίσης είναι γνωστό ότι το ύψος

έχει μήκος

. Το

είναι το ορθόκεντρο

του τριγώνου . Αν το τμήμα

έχει λάβει την μικρότερη δυνατή τιμή του ,

υπολογίστε : α) Το μήκος του ύψους

. .. β) την $\tan\widehat{BAD}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 9:53 pm
Εφαπτομένη λόγω ελαχιστοποίησης.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ η πλευρά έχει μήκος και μέσο το σημείο .

Επίσης είναι γνωστό ότι το ύψος έχει μήκος . Το είναι το ορθόκεντρο

του τριγώνου . Αν το τμήμα έχει λάβει την μικρότερη δυνατή τιμή του ,

υπολογίστε : α) Το μήκος του ύψους . .. β) την $\tan\widehat{BAD}$ .

: Εφαπτομένη λόγω ελαχιστοποίησης.png (13.47 KiB) Προβλήθηκε 794 φορές

Το σημείο

είναι σταθερό, ενώ το

κινείται πάνω στο ύψος AD.

Άρα το

παίρνει την μικρότερη τιμή

όταν είναι κάθετο στο ύψος, δηλαδή

είναι το μέσο του AD.

Με Π. Θ βρίσκω DC=15.

α) $\displaystyle \cos C = \cos \varphi \Leftrightarrow \frac{{15}}{{17}} = \frac{{HE}}{4} = \frac{4}{{HB}} \Rightarrow HE = \frac{{60}}{{17}},HB = \frac{{68}}{{15}}$ και $\boxed{BE=\frac{2056}{255}}$

β) $\displaystyle \tan C = \tan \varphi \Leftrightarrow \frac{8}{{15}} = \frac{{BD}}{4} \Leftrightarrow BD = \frac{{32}}{{15}}$ και $\displaystyle \tan \theta = \frac{{BD}}{{AD}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan\theta=\frac{4}{15}}$

#3

Αφού το σημείο

είναι σταθερό, εκτός της σταθερής ευθείας

, το τμήμα

γίνεται ελάχιστο αν και μόνο αν $MH \bot AD$ .

Ας είναι

το άλλο σημείο τομής της

με τον κύκλο (A,B,C)

. Θέτω

.

Ως γνωστό $\boxed{TD = DH = 4}$ . Μετά απ’ αυτά :

: Εφαπτομένη απο ελαχιστοποίηση.png (23.62 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές

$\left\{ \begin{gathered} 15x = 4 \cdot 8 \hfill \\ 2(ABC) = (15 + x)8 = 17BE \hfill \\ \tan \theta = \frac{x}{8} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{32}}{{15}} \hfill \\ BE = \frac{{2056}}{{255}} \hfill \\ \tan \theta = \frac{4}{{15}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Εφαπτομένη λόγω ελαχιστοποίησης

Εφαπτομένη λόγω ελαχιστοποίησης

Re: Εφαπτομένη λόγω ελαχιστοποίησης

Re: Εφαπτομένη λόγω ελαχιστοποίησης

Μέλη σε σύνδεση