Άλλη μία γωνία

#1

: Άλλη μία γωνία.png (10.38 KiB) Προβλήθηκε 907 φορές

Έστω

το ύψος τριγώνου ABC

με $\widehat A=130^0$ και E, Z

σημεία των πλευρών AB, AC

αντίστοιχα, ώστε

DE=DZ

και το

να είναι εγγράψιμο. Να βρείτε τη γωνία $E\widehat DZ=\theta.$

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ορέστης Λιγνός · #3

Την έχουμε δει και εδώ.

Ορέστης Λιγνός · #4

Και μια γεωμετρική λύση, αφιερωμένη στον Γιώργο και στον Νίκο!

Έστω ότι ο κύκλος (A,E,Z)

τέμνει την

στο

.

Τότε, το AEPZ

είναι εγγράψιμο, και αφού και το BEZC

είναι εγγράψιμο, είναι $\widehat{DBE}=\widehat{AZE}=\widehat{DPE} \Rightarrow BEDP$ εγγράψιμο.

Αφού όμως $\widehat{BDP}=90^\circ$ , είναι $AB \perp EP$ , και όμοια $PZ \perp AC$ .

Επομένως, το κέντρο του κύκλου (A,E,P,Z)

είναι πάνω στην

.

Επίσης, το κέντρο πρέπει να ανήκει και στην μεσοκάθετο της

, επομένως είναι μοναδικό σημείο.

Το

όμως, πληροί και τις δύο παραπάνω προυποθέσεις, άρα είναι το κέντρο του κύκλου (A,E,P,Z)

.

Συνεπώς, $DE=DA=DZ=DP \Rightarrow \widehat{EPZ}=180^\circ-\widehat{A}=50^\circ$ , και τελικά $\theta=2\widehat{EPZ}=100^\circ \Rightarrow \boxed{\theta=100^\circ}$ (από σχέση επίκεντρης-εγγεγραμένης).

: gonia.png (16.2 KiB) Προβλήθηκε 852 φορές

#5

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 06, 2018 1:09 am
Και μια γεωμετρική λύση, αφιερωμένη στον Γιώργο και στον Νίκο!

Έστω ότι ο κύκλος τέμνει την στο .

Τότε, το είναι εγγράψιμο, και αφού και το είναι εγγράψιμο, είναι $\widehat{DBE}=\widehat{AZE}=\widehat{DPE} \Rightarrow BEDP$ εγγράψιμο.

Αφού όμως $\widehat{BDP}=90^\circ$ , είναι $AB \perp EP$ , και όμοια $PZ \perp AC$ .

Επομένως, το κέντρο του κύκλου είναι πάνω στην .

Επίσης, το κέντρο πρέπει να ανήκει και στην μεσοκάθετο της , επομένως είναι μοναδικό σημείο.

Το όμως, πληροί και τις δύο παραπάνω προυποθέσεις, άρα είναι το κέντρο του κύκλου .

Συνεπώς, $DE=DA=DZ=DP \Rightarrow \widehat{EPZ}=180^\circ-\widehat{A}=50^\circ$ , και τελικά $\theta=2\widehat{EPZ}=100^\circ \Rightarrow \boxed{\theta=100^\circ}$ (από σχέση επίκεντρης-εγγεγραμένης).

gonia.png

Πολύ ωραία λύση Ορέστη!

Άλλη μία γωνία

Άλλη μία γωνία

Re: Άλλη μία γωνία

Re: Άλλη μία γωνία

Re: Άλλη μία γωνία

Re: Άλλη μία γωνία

Μέλη σε σύνδεση