Ανάλογα με τον λόγο

KARKAR · #1

: Ανάλογα με τον λόγο.png (6.5 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με κάθετες πλευρές : b , c , (b<c)

, φέρουμε την διάμεσο

,

την διχοτόμο

και το ύψος

. Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{DE}{EM}$ και δείξτε ότι : $\dfrac{DE}{EM}>\dfrac{b}{c}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 19, 2026 6:19 am
Ανάλογα με τον λόγο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές : , φέρουμε την διάμεσο ,

την διχοτόμο και το ύψος . Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{DE}{EM}$ και δείξτε ότι : $\dfrac{DE}{EM}>\dfrac{b}{c}$ .

Επειδή το τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο, η

διχοτομεί και τη γωνία $D\widehat AM$ (*)

: Ανάλογα με το λόγο.png (11.48 KiB) Προβλήθηκε 58 φορές

$\displaystyle \frac{{DE}}{{EM}} = \frac{{AD}}{{AM}} = \dfrac{{\dfrac{{bc}}{a}}}{{\dfrac{a}{2}}} = \frac{{2bc}}{{{a^2}}} > \frac{b}{c} \Leftrightarrow 2{c^2} > {b^2} + {c^2},$ που ισχύει λόγω της υπόθεσης b<c.

(*) $\displaystyle C\widehat AD = 90^\circ - \widehat C = \widehat B = M\widehat AB$ κι επειδή η

διχοτομεί την $B\widehat AC$ θα διχοτομεί και την $D\widehat AM.$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 19, 2026 6:19 am
Ανάλογα με τον λόγο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές : , φέρουμε την διάμεσο ,

την διχοτόμο και το ύψος . Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{DE}{EM}$ και δείξτε ότι : $\dfrac{DE}{EM}>\dfrac{b}{c}$ .

.
Πρόκειται για μικρή παραλλαγή της άσκησης που είδαμε πρόσφατα εδώ.

Με ακριβώς τον ίδιο τρόπο θα βρούμε $CD=\dfrac {b^2}{a}, \, CE=\dfrac {ab}{b+c}, \, CM=\dfrac {a}{2}$ , οπότε

$\dfrac{DE}{EM}= \dfrac{CE-CD}{CM-CE}= \dfrac{2bc}{a^2}= \dfrac{2bc}{b^2+c^2}> \dfrac{2bc}{c^2+c^2}= \dfrac{b}{c}$

Ανάλογα με τον λόγο

Ανάλογα με τον λόγο

Re: Ανάλογα με τον λόγο

Re: Ανάλογα με τον λόγο

Μέλη σε σύνδεση