Δυοβουνιώτης

KARKAR · #1

: Δυοβουνιώτης.png (15.16 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές

Το σημείο

είναι το μέσο του τμήματος $AB=\ell$ . Με διαμέτρους AO , OB

γράψαμε στο ίδιο ημιεπίπεδο δύο ημικύκλια .

Χορδή

του πρώτου ημικυκλίου παράλληλη προς την

, τέμνει το δεύτερο ημικύκλιο στο σημείο

, ( κοντά στο

) .

Βρείτε το απόστημα της χορδής

, για το οποίο η

είναι η διχοτόμος της $\widehat{SOT}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 02, 2026 10:05 am
Δυοβουνιώτης.pngΤο σημείο είναι το μέσο του τμήματος $AB=\ell$ . Με διαμέτρους γράψαμε στο ίδιο ημιεπίπεδο δύο ημικύκλια .

Χορδή του πρώτου ημικυκλίου παράλληλη προς την , τέμνει το δεύτερο ημικύκλιο στο σημείο , ( κοντά στο ) .

Βρείτε το απόστημα της χορδής , για το οποίο η είναι η διχοτόμος της $\widehat{SOT}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 02, 2026 10:05 am
Δυοβουνιώτης.pngΤο σημείο είναι το μέσο του τμήματος $AB=\ell$ . Με διαμέτρους γράψαμε στο ίδιο ημιεπίπεδο δύο ημικύκλια .

Χορδή του πρώτου ημικυκλίου παράλληλη προς την , τέμνει το δεύτερο ημικύκλιο στο σημείο , ( κοντά στο ) .

Βρείτε το απόστημα της χορδής , για το οποίο η είναι η διχοτόμος της $\widehat{SOT}$ .

τα ημικύκλια είναι ίσα, οπότε το SPOA

είναι ισοσκελές τραπέζιο και το STOA

παραλληλόγραμμο.

Οι γωνίες του ίδιου χρώματος είναι ίσες, άρα $S\widehat OT=90^\circ$ και λόγω διχοτόμου $S\widehat OP=P\widehat OT=45^\circ.$

Θέτω AK=x,

οπότε

και $AS=PO=OT=\sqrt{\dfrac{xl}{2}}.$ Με νόμο συνημιτόνου στο OPT

είναι:

: Δυοβουνιώτης.png (15.12 KiB) Προβλήθηκε 230 φορές

$\displaystyle 4{x^2} = xl - xl\frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow x = \frac{{l\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{8}.$ Για το απόστημα SK=d

της χορδής

είναι

$\displaystyle {d^2} = \sqrt {x\left( {\frac{l}{2} - x} \right)} = \sqrt {\frac{{l\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{8}\frac{{l\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{8}} = \sqrt {\frac{{2{l^2}}}{{64}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{d=\frac{l\sqrt 2}{8}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 02, 2026 10:05 am
Δυοβουνιώτης.pngΤο σημείο είναι το μέσο του τμήματος $AB=\ell$ . Με διαμέτρους γράψαμε στο ίδιο ημιεπίπεδο δύο ημικύκλια .

Χορδή του πρώτου ημικυκλίου παράλληλη προς την , τέμνει το δεύτερο ημικύκλιο στο σημείο , ( κοντά στο ) .

Βρείτε το απόστημα της χορδής , για το οποίο η είναι η διχοτόμος της $\widehat{SOT}$ .

Με $OL \bot OP \Rightarrow \triangle APO= \triangle OLB \Rightarrow AP=//OL \Rightarrow PL=//AO=//BO=\dfrac{\ell}{2}$

άρα P,T,L

συνευθειακά

Τότε, προφανώς PLBO

παραλ/μμο και οι μπλε γωνίες είναι ίσες ,άρα και STOA

παραλ/μμο οπότε $\angle SOT=90^0 \Rightarrow \angle POT=45^0$

Επειδή $\angle SOC=90^0$ , η

είναι διάμετρος του κύκλου (K)

οπότε $\angle SPC=90^0$ και το τρίγωνο

SPC

είναι ορθογώνιο ισοσκελές άρα $8x^2=\dfrac{\ell^2}{2} \Rightarrow x= \dfrac{\ell}{4 \sqrt{2} }$

: Δυοβουνιώτης.png (37.97 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές

KARKAR · #5

: Δυοβουνιώτης.png (20.27 KiB) Προβλήθηκε 143 φορές

Αφού δείξουμε ότι : $\widehat{SOT}=90^0$ , μπορούμε να συνεχίσουμε και όπως φαίνεται στο σχήμα .

Δυοβουνιώτης

Δυοβουνιώτης

Re: Δυοβουνιώτης

Re: Δυοβουνιώτης

Re: Δυοβουνιώτης

Re: Δυοβουνιώτης

Μέλη σε σύνδεση