Αξιόλογη συνευθειακότητα

[KARKAR]

Αξιόλογη συνευθειακότητα.png (18.51 KiB) Προβλήθηκε 442 φορές

Η μεγάλη βάση του ισοσκελούς τραπεζίου είναι διάμετρος ημικυκλίου . Ο κύκλος ,

τέμνει την προέκταση της στο σημείο και την προέκταση της στο σημείο . Η διχοτόμος της

γωνίας , τέμνει την κάθετη της στο , στο σημείο . Δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά .

[Mihalis_Lambrou]

Αξιόλογη συνευθειακότητα.pngΗ μεγάλη βάση του ισοσκελούς τραπεζίου είναι διάμετρος ημικυκλίου . Ο κύκλος ,

τέμνει την προέκταση της στο σημείο και την προέκταση της στο σημείο . Η διχοτόμος της

γωνίας , τέμνει την κάθετη της στο , στο σημείο . Δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά .

[/quote]
.

Αξιόλογη.png (39.55 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές

.
Έστω οι γωνίες της βάσης του τραπεζίου. Λόγω της παραλληλίας και το γεγονός ότι το είναι ισοσκελές, εύκολα βλέπουμε ότι αν η τέμνει την διχοτόμο στο , τότε . Έπεται και άρα . Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με .

Φέρνουμε την (θα δείξουμε ότι ταυτίζεται με αυτήν της εκφώνησης). Έπεται τώρα ότι τα τρίγωνα είναι ίσα καθώς και οι περιεχόμενες γωνίες τους είναι ίσες. Αλλά το είναι ορθογώνιο, άρα και το ίσο του είναι ορθογώνιο, που σημαίνει . Δηλαδή το εδώ ταυτίζεται με το της εκφώνησης.

Συνοψίζοντας, έχουμε εκ κατασκευής τα είναι συνευθειακά, όπως θέλαμε.

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Αξιόλογη συνευθειακότητα.pngΗ μεγάλη βάση του ισοσκελούς τραπεζίου είναι διάμετρος ημικυκλίου . Ο κύκλος ,

τέμνει την προέκταση της στο σημείο και την προέκταση της στο σημείο . Η διχοτόμος της

γωνίας , τέμνει την κάθετη της στο , στο σημείο . Δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά .

Όλα τα μπλε ευθ.τμήματα του σχήματος ,προφανώς είναι ίσα

Επειδή οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,το είναι παραλ/μμο όπως και το (αφού )

Επομένως .

Η εφάπτεται του κύκλου άρα

συνεπώς είναι ορθόκεντρο του τριγώνου

Έτσι .Από συνευθειακά

Αξιόλογη συνευθειακότητα.png (49.01 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές

[Doloros]

Αξιόλογη συνευθειακότητα.pngΗ μεγάλη βάση του ισοσκελούς τραπεζίου είναι διάμετρος ημικυκλίου . Ο κύκλος ,

τέμνει την προέκταση της στο σημείο και την προέκταση της στο σημείο . Η διχοτόμος της

γωνίας , τέμνει την κάθετη της στο , στο σημείο . Δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά .

Όλα τα μπλε ευθ.τμήματα του σχήματος ,προφανώς είναι ίσα

Επειδή οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,το είναι παραλ/μμο όπως και το (αφού )

Επομένως .

Η εφάπτεται του κύκλου άρα

συνεπώς είναι ορθόκεντρο του τριγώνου

Έτσι .Από συνευθειακά

Αξιόλογη συνευθειακότητα.png

[giannimani]

Το είναι παραλληλόγραμμο. Έστω το κέντρο του ημικυκλίου, το σημείο τομής των διαγωνίων
του παραλληλογράμμου , και το σημείο τομής της διχοτόμου με το ημικύκλιο.
Τα σημεία , και είναι συνευθειακά.
Θεωρούμε την ομοιοθεσία κέντρου και λόγου . Τότε,
, και . Προφανώς,
τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία που είναι παράλληλη της .
Για να αποδείξουμε ότι , αρκεί , ή το τετράπλευρο εγγράψιμο.
Αποδεικνύουμε πρώτα ότι τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Αρκεί .
Είναι
και
Τώρα, .
Από και από το οποίο προκύπτει το ζητούμενο.

colinear1.png (72.08 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές

[Doloros]

Αξιόλογη συνευθειακότητα.pngΗ μεγάλη βάση του ισοσκελούς τραπεζίου είναι διάμετρος ημικυκλίου . Ο κύκλος ,

τέμνει την προέκταση της στο σημείο και την προέκταση της στο σημείο . Η διχοτόμος της

γωνίας , τέμνει την κάθετη της στο , στο σημείο . Δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά .

Όλες οι πράσινες γωνίες ( και όχι μόνο) είναι από , ενώ όλες οι κίτρινες από .

Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο , ενώ τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία κι αυτό γιατί:
.

Αξιόλογη ευθεία_1.png (30.47 KiB) Προβλήθηκε 319 φορές

.
Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο , είναι παραπληρωματική με την και από το ισοσκελές

Με εξωτερική στο , θα έχει τις ίσες του γωνίες από .

Έστω τώρα το σημείο τομής της με την εις το κάθετη επί την
.

Αξιόλογη ευθεία_2.png (48.85 KiB) Προβλήθηκε 319 φορές

.
Στον κύκλο ( ) , και η είναι εγγεγραμμένη στο ( μικρό ) τόξο χορδής , οπότε αναγκαστικά και η

θα βαίνει στο ίδιο τόξο , κατά συνέπεια η στην προς το προέκταση της , θα διέλθει από το .