Σταθερός λόγος 52

KARKAR · #1

: Σταθερός λόγος 52.png (27.71 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές

Ο κύκλος

εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου : (O , R ) , (R>r)

, στο σημείο

.

Από σημείο

το οποίο κινείται στον μεγαλύτερο κύκλο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και την

, η οποία τέμνει τον μικρότερο κύκλο στο σημείο

. Δείξτε ότι ο λόγος : $\dfrac{PS}{PT}$

είναι σταθερός και υπολογίστε τον , αν : R=4 , r=3

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 13, 2024 8:24 am
Σταθερός λόγος 52.pngΟ κύκλος εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου : , στο σημείο .

Από σημείο το οποίο κινείται στον μεγαλύτερο κύκλο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και την , η οποία τέμνει τον μικρότερο κύκλο στο σημείο . Δείξτε ότι ο λόγος : $\dfrac{PS}{PT}$

είναι σταθερός και υπολογίστε τον , αν : .

Από τα ισοσκελή τρίγωνα KAT, OAP

προκύπτει ότι:

$\displaystyle KT//OP \Leftrightarrow \frac{r}{R} = \frac{{AT}}{{AP}} \Leftrightarrow \frac{{R - r}}{R} = \frac{{PT}}{{AP}} \Leftrightarrow$ $\boxed{AP = \frac{R}{{R - r}}PT}$ (1)

: Σταθερός λόγος 52.png (20.49 KiB) Προβλήθηκε 477 φορές

Εξάλλου από τα όμοια τρίγωνα PST, PSA

είναι, $\displaystyle P{S^2} = PT \cdot PA\mathop = \limits^{(1)} \frac{R}{{R - r}}P{T^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{PS}}{{PT}} = \sqrt {\frac{R}{{R - r}}} }$

που είναι σταθερό. Για R=4, r=3,

είναι $\dfrac{PS}{PT}=2$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 13, 2024 8:24 am
Σταθερός λόγος 52.pngΟ κύκλος εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου : , στο σημείο .

Από σημείο το οποίο κινείται στον μεγαλύτερο κύκλο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και την , η οποία τέμνει τον μικρότερο κύκλο στο σημείο . Δείξτε ότι ο λόγος : $\dfrac{PS}{PT}$

είναι σταθερός και υπολογίστε τον , αν : .

Είναι $BP,CT \bot AP \Rightarrow BP//CT$ και PS^2=PA.PT

.Άρα

$\dfrac{PS^2}{PT^2}= \dfrac{PA}{PT}= \dfrac{BA}{BC}= \dfrac{2R}{2R-2r}= \dfrac{R}{R-r} \Rightarrow \dfrac{PS}{PT}= \sqrt{ \dfrac{R}{R-r} }$

: Σταθερός λόγος 52.png (24.38 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές

KARKAR · #4

Είναι φανερό , ότι ο Γιώργος προσπαθεί να αποφύγει λύση με "δύναμη σημείου ως προς κύκλο " επιλέγοντας - λόγω

του φακέλου - την "ομοιότητα " . Ωστόσο νομίζω ότι για τους διαγωνιζόμενους juniors , και το πρώτο θεωρείται γνωστό .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 13, 2024 8:24 am
Σταθερός λόγος 52.pngΟ κύκλος εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου : , στο σημείο .

Από σημείο το οποίο κινείται στον μεγαλύτερο κύκλο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και την , η οποία τέμνει τον μικρότερο κύκλο στο σημείο . Δείξτε ότι ο λόγος : $\dfrac{PS}{PT}$

είναι σταθερός και υπολογίστε τον , αν : .

Φέρνω την κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων . Ας είναι

το άλλο σημείο τομής της

με το μεγάλο κύκλο .

Οι κίτρινες γωνίες είναι ίσες ως παρά την βάση ισοσκελών τριγώνων ενώ λόγω της πρότασης υπό χορδής κι εφαπτομένης

: Σταθερός λόγος 52_a.png (23.15 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές

Είναι : $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _3}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}}$ , συνεπώς έχω: $KS//OM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TS//PM$ . Θέτω , OK = m = R - r

.

$P{S^2} = PT \cdot PA\,\,\,\left( 1 \right)$ ( με ομοιότητα ή με δύναμη σημείου) . Επίσης , $\boxed{\frac{{OA}}{{OK}} = \frac{{MA}}{{MS}} = \frac{{PA}}{{PT}} = \frac{{PA.PT}}{{P{T^2}}} = \frac{{P{S^2}}}{{P{T^2}}}}$ . Άρα , $\boxed{\frac{{PS}}{{PT}} = \sqrt {\frac{R}{{R - r}}} }$ .

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 13, 2024 8:24 am
Σταθερός λόγος 52.pngΟ κύκλος εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου : , στο σημείο .

Από σημείο το οποίο κινείται στον μεγαλύτερο κύκλο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και την , η οποία τέμνει τον μικρότερο κύκλο στο σημείο . Δείξτε ότι ο λόγος : $\dfrac{PS}{PT}$

είναι σταθερός και υπολογίστε τον , αν : .

Είναι

$NT//PM,\dfrac{TA}{AP}=\dfrac{r}{R},(1), (1) \Rightarrow \dfrac{AP}{TP}=\dfrac{R}{R-r},(2),$

$PS^{2}=AP.TP\Leftrightarrow \dfrac{PS^{2}}{TP^{2}}=\dfrac{AP}{TP},(3), (2),(3) \Rightarrow \dfrac{PS}{TP}=\sqrt{\dfrac{R}{R-r}}$

Σταθερός λόγος 52

Σταθερός λόγος 52

Re: Σταθερός λόγος 52

Re: Σταθερός λόγος 52

Re: Σταθερός λόγος 52

Re: Σταθερός λόγος 52

Re: Σταθερός λόγος 52

Μέλη σε σύνδεση