Ομοκυκλικά σημεία

#1

Δίνεται τρίγωνο ABC

με περίκεντρο

και $\widehat B=30^0.$ Η

τέμνει την

στο

Γράφω τον περίκυκλο

του τριγώνου KOC

και έστω

το μέσο του τόξου $\overset\frown {OC}$ στο οποίο δεν ανήκει το

Να δείξετε ότι τα σημεία

A, K, L, B

είναι ομοκυκλικά.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Αφού το

είναι το μέσο του τόξου $\overset\frown {OC}$ , έχουμε OL=CL

(1)

Αφού

είναι το περίκεντρο του τριγώνου ABC

και η εγγεγραμμένη $\widehat{ABC}=30^o$ , άρα η αντίστοιχη επίκεντρη $\widehat{AOC}=60^o$ και επειδή OA=OC

το τρίγωνο AOC

θα είναι ισόπλευρο. Άρα AC=OA=OC=OB

(2)

Από το εγγεγραμμένο OKCL

έχουμε $\widehat{BOL}=\widehat{KCL}$ (3)

Από τις (1), (2) και (3) έχουμε ότι τα τρίγωνα OBL

και

είναι ίσα. Άρα $\widehat{OBL}=\widehat{CAL}$ , δηλαδή $\widehat{KBL}=\widehat{KAL}$ , συνεπώς το τετράπλευρο AKLB

είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.