Μία κορυφή και τρία περίκεντρα

#1

: Μία κορυφή και τρία περίκεντρα.png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 837 φορές

Έστω

το ύψος και

το περίκεντρο τριγώνου ABC.

Οι

τέμνουν το ύψος στα σημεία E, F

αντίστοιχα.

Αν K, L

είναι τα περίκεντρα των τριγώνων ABE, ACF,

να δείξετε ότι το AKOL

είναι παραλληλόγραμμο.

Ορέστης Λιγνός · #2

Γεια σου Γιώργο.

Είναι $\widehat{BKE}=2\widehat{BAE}=180^\circ-2\widehat{B}, \widehat{AKE}=2\widehat{ABE}=2\widehat{ABO}=180^\circ-2\widehat{C}$ .

Οπότε, $\widehat{AKB}=\widehat{BKE}+\widehat{AKE}=2\widehat{A}$ και αφού $KA=KB \Rightarrow \widehat{KAB}=90^\circ-\widehat{A} \Rightarrow KA \perp KC$ (1).

Επίσης, $LA=LC, OA=OC \Rightarrow LO \perp AC$ (2).

Από (1), (2), $AK \parallel OL$ και όμοια $AL \parallel KO$ , οπότε AKOL

παραλληλόγραμμο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 29, 2017 8:23 pm
Μία κορυφή και τρία περίκεντρα.png
Έστω το ύψος και το περίκεντρο τριγώνου Οι τέμνουν το ύψος στα σημεία αντίστοιχα.

Αν είναι τα περίκεντρα των τριγώνων να δείξετε ότι το είναι παραλληλόγραμμο.

Τα $\displaystyle K,L$ ανήκουν στις μεσοκάθετες των $\displaystyle AB,AC$

Οι γωνίες $\displaystyle x$ ως συμπληρώματα των $\displaystyle \angle B = \angle AZC$ είναι ίσες και οι πράσινες επίσης ως

συμπληρώματα των $\displaystyle \angle OBC = \angle OCB$

Άρα, $\displaystyle \angle EBA = \angle EAC \Rightarrow AC$ εφαπτόμενη του $\displaystyle \left( {K,KA} \right) \Rightarrow AC \bot KA \Rightarrow AK//OL$

Επίσης $\displaystyle AB$ εφαπτόμενη του $\displaystyle \left( {L,LA} \right) \Rightarrow AB \bot AL \Rightarrow AL//KO$

: περίκεντρα.png (34.17 KiB) Προβλήθηκε 803 φορές

Μία κορυφή και τρία περίκεντρα

Μία κορυφή και τρία περίκεντρα

Re: Μία κορυφή και τρία περίκεντρα

Re: Μία κορυφή και τρία περίκεντρα

Μέλη σε σύνδεση