Ανισότητα

#1

Για τους πραγματικούς αριθμούς a, b, c

ισχύει $\displaystyle{a,b,c> \frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{ab+bc+ca =\frac{5}{4}.}$
Να δείξετε ότι $\displaystyle{a + b + c > a^2 + b^2 + c^2.}$

thepigod762 · #2

socrates έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 21, 2022 1:04 am
Για τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει $\displaystyle{a,b,c> \frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{ab+bc+ca =\frac{5}{4}.}$
Να δείξετε ότι $\displaystyle{a + b + c > a^2 + b^2 + c^2.}$

Η δοθείσα ανισότητα γράφεται

$a+b+c + \dfrac{5}{2} > a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2\Leftrightarrow \dfrac{1-\sqrt{11}}{2}< a+b+c< \dfrac{1+\sqrt{11}}{2}.$

Η αριστερή προφανώς ισχύει. Για την δεξιά, έχουμε:

$(a-\dfrac{1}{2})(b-\dfrac{1}{2})> 0\Leftrightarrow ab+\dfrac{1}{4}> \dfrac{a+b}{2}.$

Με κυκλική εφαρμογή της τελευταίας και πρόσθεση έχουμε:

$ab+bc+ca+\dfrac{3}{4}> a+b+c\Leftrightarrow 2> a+b+c.$

Παρατηρούμε πως $2< \dfrac{1+\sqrt{11}}{2}\Leftrightarrow 9< 11,$

που ισχύει και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

#3

Αλλιώς:
$\displaystyle{\displaystyle{\frac{5}{4}=ab+bc+ca>\frac{1}{4}+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}}}$ οπότε $\displaystyle{0<a<1}$ και άρα a>a^2...

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση