Από ανισότητα σε ανισότητα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Για $0 \le a,b$
αν είναι $2\le a^2+b^2$
να δειχθεί ότι $2\le a^3+b^3$

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 13, 2024 6:38 pm
Για $0 \le a,b$
αν είναι $2\le a^2+b^2$
να δειχθεί ότι $2\le a^3+b^3$

Είναι

$2(a^3+b^3)^2-(a^2+b^2)^3=a^6-3a^4 b^2 + 4a^3b^3 - 3a^2b^4 + b^6=(a-b)^2 (a^4 + 2 a^3 b + 2 a b^3 + b^4)\geq 0,$

οπότε

$(a^3+b^3)^2\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2)^3\geq \frac{2^3}{2}=4$ , και άρα $a^3+b^3\geq 2$ .

ksofsa · #3

Άλλη μια λύση:

Από ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου:

$(2a^3+1)+(2b^3+1)\ge 3a^2+3b^2\ge 6\Rightarrow a^3+b^3\ge 2.$

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 13, 2024 6:38 pm
Για $0 \le a,b$
αν είναι $2\le a^2+b^2$
να δειχθεί ότι $2\le a^3+b^3$

Από την ανισότητα Α.Μ-Γ.Μ έχουμε

$2a^3+1 = a^3+a^3+1\ge 3\sqrt [3]{a^3a^31^3}=3a^2$ και όμοια $2b^3+1\ge 3b^2$ .

Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε

$2(a^3+b^3)+2\ge 3(a^2+b^2) \ge 3\cdot 2 = 6$ και άρα $2(a^3+b^3)\ge 4$ , που ισοδυναμεί με το ζητούμενο.

Edit. Με πρόλαβε ο Κώστας όσο έγραφα, με την ίδια λύση. Το αφήνω για τον κόπο.

Από ανισότητα σε ανισότητα

Από ανισότητα σε ανισότητα

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση