Ένα κι ένα κάνουν δύο

[KARKAR]

Βρείτε τους θετικούς ακεραίους , οι οποίοι ικανοποιούν τις ισότητες :

[Mihalis_Lambrou]

Βρείτε τους θετικούς ακεραίους , οι οποίοι ικανοποιούν τις ισότητες :

Η δεύτερη γράφεται . Οπότε στους θετικούς ακεραίους είναι ίσον κάποιο ή κάποια από τα ή ή ή ή ή , Συνεπώς (άμεσο) ίσον κάποιο ή κάποια από τα ή ή ή ή ή .

Eλέγχουμε ποια από αυτά ικανοποιούν την πρώτη εξίσωση. Βγάζω την ως μόνη λύση.

[abgd]

Βρείτε τους θετικούς ακεραίους , οι οποίοι ικανοποιούν τις ισότητες :

Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει εύκολα η εξίσωση και εφόσον είμαστε στους θετικούς ακεραίους ο δεύτερος παράγοντας είναι θετικός και θα πρέπει:

• και όπου, με αφαίρεση κατά μέλη, έχουμε το οποίο είναι αδύνατο.

ή

• και όπου, με αφαίρεση κατά μέλη, έχουμε , οπότε και, από την πρώτη, .

[Mihalis_Lambrou]

Βρείτε τους θετικούς ακεραίους , οι οποίοι ικανοποιούν τις ισότητες :

Από την πρώτη έχουμε . Άρα , από όπου . Αυτό στην δεύτερη δίνει

ή αλλιώς , ισοδύναμα από όπου (διότι ο άλλος παράγοντας είναι θετικός). Συνεπώς ή . Θέτοντας στο σύστημα βλέπουμε ότι δεν ικανοποιείται, άρα μένει να δοκιμάσουμε το . Θέτοντας στο σύστημα βλέπουμε ότι ικανοποιείται από το . Τελικά, μοναδική λύση η .