A' ΔΕΣΜΗ 1985

parmenides51 · #1

1. α) Έστω μια ευθεία που σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων έχει εξίσωση $\displaystyle{Ax+By+\Gamma=0}$ με $\left| A \right|+\left| B \right|\ne 0$ .
Έστω $P({x_{1}},{y_{1}})$ είναι ένα σημείο εκτός της ευθείας αυτής.
Να αποδειχθεί ότι η απόσταση του σημείου $\displaystyle{P}$ από την ευθεία ισούται με $\displaystyle{\frac{\left| A x_1+By_1+\Gamma \right|}{\sqrt{A^2+B ^2}}}}$
β) Θεωρούμε δυο ευθείες που σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων έχουν εξίσωση $\displaystyle{x+\mu y+1=0}$ και $\displaystyle{2\mu x+2y+\lambda=0}$ αντίστοιχα
(όπου $\displaystyle{\mu,\lambda}$ είναι πραγματικοί αριθμοί). Να προσδιορίσετε για ποια ζεύγη τιμών των $\displaystyle{\lambda, \mu}$ οι δύο ευθείες είναι παράλληλες
και έχουν απόσταση μεταξύ τους $2\sqrt{2}$ .

2. Δίνεται το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+2y+3\omega =0\\ 4x+(3+\lambda )y+6\omega =0 \\ 5x+4y+(1+\lambda )\omega =0 \end{matrix}\right.}}$
α) Να βρεθούν οι τιμές του $\displaystyle{ \lambda }$ για τις οποίες το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
β) Να βρεθούν όλες οι λύσεις του συστήματος για την περίπτωση που το $\displaystyle{ \lambda }$ ισούται με την μικρότερη από τις τιμές που βρήκατε στο ερώτημα (α) .

3. α) Έστω μια ακολουθία $({{\beta }_{\nu }})$ . Αν υπάρχουν δυο ακολουθίες $\displaystyle{({{\alpha }_{\nu }})}$ και $\displaystyle{({{\gamma }_{\nu }})}$ με κοινό όριο, τέτοιες ώστε για κάθε $\displaystyle{\nu>\kappa}$
( $\displaystyle{\kappa}$ ένας συγκεκριμένος φυσικός) να είναι ${{\alpha }_{\nu }}\le {{\beta }_{\nu }}\le {{\gamma }_{\nu }}$ τότε και η $({{\beta }_{\nu }})$ έχει το ίδιο όριο.
β) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας $\displaystyle{{{\alpha }_{\nu }}=\sqrt[\nu ]{{{\nu }^{2}}-2\nu +3}}$ .

4. α) Έστω ότι μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι δυο φορές παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και ότι στο σημείο ${{x}_{0}}\in \Delta$ είναι ${f}'({{x}_{0}})=0$ .
Αν ${f}''({{x}_{0}})>0$ , τότε το $f({{x}_{0}})$ είναι τοπικό ελάχιστο της $\displaystyle{f}$ .
β) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $f(x)={{x}^{2}}(x-3)+4$ , $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ .
Έστω ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ είναι τα σημεία στα οποία η $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και ${{x}_{3}}$ το σημείο στο οποίο παρουσιάζει καμπή.
Να αποδειχθεί ότι τα σημεία του επιπέδου $({{x}_{1}},f({{x}_{1}})),({{x}_{2}},f({{x}_{2}})),({{x}_{3}},f({{x}_{3}}))$ είναι συνευθειακά.

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Δίνεται το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+2y+3\omega =0\\ 4x+(3+\lambda )y+6\omega =0 \\ 5x+4y+(1+\lambda )\omega =0 \end{matrix}\right.}}$
α) Να βρεθούν οι τιμές του $\displaystyle{ \lambda }$ για τις οποίες το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
β) Να βρεθούν όλες οι λύσεις του συστήματος για την περίπτωση που το $\displaystyle{ \lambda }$ ισούται με την μικρότερη από τις τιμές που βρήκατε στο ερώτημα (α) .

α) Το σύστημα είναι ομογενές. Για να έχει και μη μηδενικές λύσεις πρέπει:

$D = 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 4&{3 + \lambda }&6\\ 5&4&{1 + \lambda } \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow$

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {3 + \lambda }&6\\ 4&{1 + \lambda } \end{array}} \right| - 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&6\\ 5&{1 + \lambda } \end{array}} \right| + 3\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{3 + \lambda }\\ 5&4 \end{array}} \right| = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\pi \rho \dot \alpha \xi \varepsilon \iota \varsigma }$

${\lambda ^2} - 19\lambda + 34 = 0 \Leftrightarrow \lambda = 2\;\dot \eta \;\lambda = 17$

β) Με $\lambda = 2\;$ το σύστημα γίνεται: $\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 3\omega = 0\;\;\,\,\left( 1 \right)\\ 4x + 5y + 6\omega = 0\;\left( 2 \right)\\ 5x + 4y + 3\omega = 0\;\left( 3 \right) \end{array} \right.$

Με τη βοήθεια του επαυξημένου πίνακα έχουμε:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&|&0\\ 4&5&6&|&0\\ 5&4&3&|&0 \end{array}} \right]$ $\begin{array}{l} {\Gamma _2} \to {\Gamma _2} - 4{\Gamma _1}\\ {\Gamma _3} \to {\Gamma _3} - 5{\Gamma _1}\\ \quad \quad \sim \end{array}$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&|&0\\ 0&{ - 3}&{ - 6}&|&0\\ 0&{ - 6}&{ - 12}&|&0 \end{array}} \right]$ $\begin{array}{l} {\Gamma _2} \to - \frac{1}{3}{\Gamma _2}\\ {\Gamma _3} \to {\Gamma _3} - 2{\Gamma _2}\\ \quad \quad \sim \end{array}$

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&|&0\\ 0&1&2&|&0\\ 0&0&0&|&0 \end{array}} \right]$ $\begin{array}{l} {\Gamma _1} \to {\Gamma _1} - 2{\Gamma _2}\\ \quad \quad \sim \end{array}$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&|&0\\ 0&1&2&|&0\\ 0&0&0&|&0 \end{array}} \right]$

Άρα $\left\{ \begin{array}{l} x = \omega \\ y = - 2\omega \end{array} \right.$ και το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής $\left( {x,y,\omega } \right) = \left( { k, - 2k,k} \right),\;k \in R$

BAGGP93 · #3

parmenides51 έγραψε:

2. Δίνεται το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+2y+3\omega =0\\ 4x+(3+\lambda )y+6\omega =0 \\ 5x+4y+(1+\lambda )\omega =0 \end{matrix}\right.}}$
α) Να βρεθούν οι τιμές του $\displaystyle{ \lambda }$ για τις οποίες το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
β) Να βρεθούν όλες οι λύσεις του συστήματος για την περίπτωση που το $\displaystyle{ \lambda }$ ισούται με την μικρότερη από τις τιμές που βρήκατε στο ερώτημα (α) .

Καλησπέρα.

α)Το παραπάνω σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις, αν και μόνο αν η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων ισούται με μηδέν.

Η ορίζουσα αυτή, που θα δίνεται ως συνάρτηση του $\displaystyle{\lambda}$ , είναι η ακόλουθη.

$\displaystyle{f\left(\lambda\right)=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 3+\lambda & 6\\ 5 &4 & 1+\lambda \end{vmatrix}}}$

Αφαιρώντας από την δεύτερη γραμμή, τέσσερις φορές την πρώτη, και, από την τρίτη γραμμή, πέντε φορές την πρώτη, έχουμε ότι

$\displaystyle{\begin{aligned}f\left(\lambda\right)=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & \lambda-5 & -6\\ 0 & -6 & \lambda-14 \end{vmatrix}&=\left(\lambda-5\right)\left(\lambda-14\right)-36\\&=\lambda^2-19\lambda+34\\&=\left(\lambda-\frac{19}{2}\right)^2+\frac{136}{4}-\frac{361}{4}\\&=\left(\lambda-\frac{19}{2}\right)^2-\frac{225}{4}\\&=\left(\lambda-2\right)\left(\lambda-17)\end{aligned}}$

Συνεπώς, το παραπάνω σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις, αν και μόνο αν $\displaystyle{f\left(\lambda\right)=0}$ , απ' όπου έχουμε

$\displaystyle{f\left(\lambda\right)=0\Leftrightarrow \left(\lambda-2\right)\left(\lambda-17\right)=0\Leftrightarrow \left(\lambda=2\ \lor \lambda=17\right)}$

β)Για $\displaystyle{\lambda=2}$ το σύστημα γράφεται

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+2y+3\omega =0\\ 4x+5y+6\omega =0 \\ 5x+4y+3\omega =0 \end{matrix}\right.}}$

Ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων του συστήματος αυτού είναι ο

$\displaystyle{A=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 5 & 4 & 3 \end{matrix}\right)}$

Εκτελώντας τις ίδιες γραμμοπράξεις, με αυτές, στον υπολογισμό της ορίζουσας $\displaystyle{f\left(\lambda\right)}$ , έχουμε ότι

$\displaystyle{A\longrightarrow \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{matrix}\right)}$

Το σύστημα είναι ομογενές, και σύμφωνα με την μέθοδο απαλοιφής του Gauss, είναι ισοδύναμο με το

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+2y+3\omega=0\\ 0x-3y-6\omega =0\\ 0x-6y-12\omega=0 \end{matrix}}$

το οποίο έχει ως γενική λύση την $\displaystyle{\left(x,y,\omega\right)=\left(m,-2m,m\right)\,\,,m\in\mathbb{R}}$

Αν και με πρόλαβε ο κύριος Καμπελής, το αφήνω για τον κόπο

Ιστοσελίδα · #4

parmenides51 έγραψε:3. α) Έστω μια ακολουθία $({{\beta }_{\nu }}).$ Αν υπάρχουν δυο ακολουθίες $\displaystyle{({{\alpha }_{\nu }})}$ και $\displaystyle{({{\gamma }_{\nu }})}$ με κοινό όριο, τέτοιες ώστε για κάθε $\displaystyle{\nu>\kappa}$
$(\displaystyle{\kappa}$ ένας συγκεκριμένος φυσικός) να είναι ${{\alpha }_{\nu }}\le {{\beta }_{\nu }}\le {{\gamma }_{\nu }}$ τότε και η $({{\beta }_{\nu }})$ έχει το ίδιο όριο.
β) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας $\displaystyle{{{\alpha }_{\nu }}=\sqrt[\nu ]{{{\nu }^{2}}-2\nu +3}}.$

α) Θεωρία

β)
1ος τρόπος: Για κάθε $\nu\geq 2$ είναι: $3\leq \nu^2-2\nu+3\leq \nu^2+2\nu^2+3\nu^2=6\nu^2 .$

Άρα $\sqrt[\nu]{3}\leq a_{\nu}\leq \sqrt[\nu]{6\nu^2}$

Όμως $\lim \sqrt[\nu]{3}=1 \; , \; \lim \sqrt[\nu]{\nu}=1 \; , \; \lim \sqrt[\nu]{6\nu^2}=\lim [ \sqrt[\nu]{6}\cdot ( \sqrt[\nu]{\nu})^2]=1,$ οπότε και $\lim a_{\nu}=1 .$

2ος τρόπος: Είναι $a_{\nu}=\sqrt[\nu]{\nu^2-2\nu+3}=\sqrt[\nu]{\nu^2\left(1-\dfrac{2}{\nu}+\dfrac{3}{\nu^2}\right)}=( \sqrt[\nu]{\nu})^2\cdot\sqrt[\nu]{1-\dfrac{2}{\nu}+\dfrac{3}{\nu^2}}.$

Η ακολουθία $x_{\nu}=1-\dfrac{2}{\nu}+\dfrac{3}{\nu^2}$ έχει $\lim x_{\nu}=1$ οπότε υπάρχει $\nu_0\in\mathbb{N}$ ώστε

για κάθε $\nu\geq \nu_0$ να είναι $|x_{\nu}-1|<\dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2}<x_{\nu}<\dfrac{3}{2} \Rightarrow \sqrt[\nu]{ \dfrac{1}{2}}<\sqrt[\nu]{x_{\nu}}<\sqrt[\nu]{\dfrac{3}{2}}.$

Επομένως, $\lim \sqrt[\nu]{x_{\nu}}=1$ οπότε και $\lim a_{\nu}=1 .$

3ος τρόπος: Είναι $\nu^2-2\nu+3=(\nu-1)^2+2>1 .$ Άρα $\sqrt[3\nu]{\nu^2-2\nu+3}>1$ και $\delta_{\nu}=\sqrt[3\nu]{\nu^2-2\nu+3}-1>0 .$

Έχουμε $\sqrt[3\nu]{\nu^2-2\nu+3}=1+\delta_{\nu} \Rightarrow \sqrt[3]{\nu^2-2\nu+3}=(1+\delta_{\nu})^{\nu}\geq 1+\nu\delta_{\nu}>\nu\delta_{\nu} .$

Τότε $0\leq \delta_{\nu}<\dfrac{ \sqrt[3]{\nu^2-2\nu+3}}{\nu}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{\nu}-\dfrac{2}{\nu^2}+\dfrac{3}{\nu^3}}\rightarrow 0 .$

Επομένως, $\lim a_{\nu}=\lim (1+\delta_{\nu})^3=1 .$

#5

parmenides51 έγραψε:1. α) Έστω μια ευθεία που σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων έχει εξίσωση $\displaystyle{Ax+By+\Gamma=0}$ με $\left| A \right|+\left| B \right|\ne 0$ .
Έστω $P({x_{1}},{y_{1}})$ είναι ένα σημείο εκτός της ευθείας αυτής.
Να αποδειχθεί ότι η απόσταση του σημείου $\displaystyle{P}$ από την ευθεία ισούται με $\displaystyle{\frac{\left| A x_1+By_1+\Gamma \right|}{\sqrt{A^2+B ^2}}}}$
β) Θεωρούμε δυο ευθείες που σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων έχουν εξίσωση $\displaystyle{x+\mu y+1=0}$ και $\displaystyle{2\mu x+2y+\lambda=0}$ αντίστοιχα
(όπου $\displaystyle{\mu,\lambda}$ είναι πραγματικοί αριθμοί). Να προσδιορίσετε για ποια ζεύγη τιμών των $\displaystyle{\lambda, \mu}$ οι δύο ευθείες είναι παράλληλες
και έχουν απόσταση μεταξύ τους $2\sqrt{2}$ .
.

(α) Θεωρία

(β) Αν είναι $\displaystyle{\mu =0}$ , τότε οι ευθείες δεν είναι παράλληλες, αφού η μία είναι οριζόντια και η άλλη κατακόρυφη. Άρα πρέπει $\displaystyle{\mu \neq 0}$
Τότε η κλίση της πρώτης ευθείας είναι $\displaystyle{\lambda _1 =-\frac{1}{\mu}}$ και της δεύτερης $\displaystyle{\lambda _2 =-\mu}$

Για να είναι παράλληλες οι ευθείες, πρέπει $\displaystyle{\lambda _1 =\lambda _2 \Leftrightarrow \mu ^2 =1 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\mu =1}$ ή $\displaystyle{\mu =-1}$

Στο μεταξύ, θεωρούμε το σημείο $\displaystyle{A(-1,0)}$ το οποίο προφανώς ανήκει στην πρώτη ευθεία. Άρα θα έχουμε:

$\displaystyle{d=\frac{|2\mu .(-1)+2.0+\lambda|}{\sqrt{4\mu ^2 +4}}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{|\lambda -2\mu|}{\sqrt{4\mu ^2 +4}}=2\sqrt{2}}$ , (ΣΧΕΣΗ 1)

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{\mu =1}$ . Τότε από την (σχέση 1) έχουμε:

$\displaystyle{\frac{|\lambda -2|}{\sqrt{8}}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \lambda =-6}$ , ή $\displaystyle{\lambda =10}$

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{\mu =-1}$ . Τότε ομοίως βρίσκουμε ότι: $\displaystyle{\lambda =-10}$ , ή $\displaystyle{\lambda =6}$

Άρα: $\displaystyle{(\lambda , \mu )\in \{(-6 , 1), (10 , 1), (-10 , -1), (6 , -1)\}}$

Christos75 · #6

4. α) Έστω ότι μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι δυο φορές παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και ότι στο σημείο ${{x}_{0}}\in \Delta$ είναι ${f}'({{x}_{0}})=0$ .
Αν ${f}''({{x}_{0}})>0$ , τότε το $f({{x}_{0}})$ είναι τοπικό ελάχιστο της $\displaystyle{f}$ .
β) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $f(x)={{x}^{2}}(x-3)+4$ , $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ .
Έστω ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ είναι τα σημεία στα οποία η $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και ${{x}_{3}}$ το σημείο στο οποίο παρουσιάζει καμπή.
Να αποδειχθεί ότι τα σημεία του επιπέδου $({{x}_{1}},f({{x}_{1}})),({{x}_{2}},f({{x}_{2}})),({{x}_{3}},f({{x}_{3}}))$ είναι συνευθειακά.

Λύση
α) Θεωρία

β)
Μας δίνεται η συνάρτηση: $f(x)=x^{2}(x-3)+4, x\in \mathbb{R}$

Η παραπάνω συνάρτηση γράφεται ισοδυνάμως: $f(x)=x^{3}-3x^{2}+4$
Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της εν λόγω συνάρτησης:
$f'(x)=3x^{2}-6x$ Θα δούμε που μηδενίζεται συνάρτηση αυτή.

$f'(x)=0\Leftrightarrow 3x^{2}-6x=0\Leftrightarrow x=0 \vee x=2$

Βρίσκουμε και την δεύτερη παράγωγο της αρχικής συνάρτησης:

f''(x)=6x-6

Σύμφωνα με την θεωρία στο α) ερώτημα έχουμε ότι: f''(0)=-6< 0

, άρα το $x_{1}=0$ είναι τοπικό μέγιστο.
Ομοίως και για το $x_{2}=2$ αφού f''(2)=6>0

'Αρα $M_{1}(0,f(0))\equiv (0,4)$
$M_{2}(0,f(2))\equiv (2,0)$ .

Επίσης πρέπει να δούμε που μηδενίζεται η δεύτερη παράγωγος, αυτό συμβαίνει για : $f''(x)=0\Leftrightarrow 6x-6=0\Leftrightarrow x=1$

Επίσης παρατηρούμε ότι αλλάζει πρόσημο πριν και μετά την τιμή που μηδενίζεται η δεύτερη παράγωγος, συνεπώς το $x_{3}=1$ είναι σημείο καμπής.

Κατά συνέπεια, $M_{3}(1,f(1))\equiv (1,2)$

Θέλουμε τώρα να αποδείξουμε ότι τα $M_{1},M_{2},M_{3}$ είναι συνευθειακά.

Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα προαναφερθέντα σημεία δεν συνιστούν τρίγωνο, δηλαδή αρκεί $(M_{1}M_{2}M_{3})= 0$ .

Πράγματι, $\displaystyle{(M_{1}M_{2}M_{3})=\frac{1}{2}\left | det(\vec{M_{1}M_{2}},\vec{M_{1}M_{3}}) \right |=\frac{1}{2}|\begin{vmatrix} 2 & -4\\ 1 & -2 \end{vmatrix}|=\frac{1}{2}|-4-(-4).1|=\frac{1}{2}|-4+4|=\frac{1}{2}.0=0 tm}$

Άρα $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ συνευθειακά.

A' ΔΕΣΜΗ 1985

A' ΔΕΣΜΗ 1985

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1985

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1985

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1985

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1985

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1985

Μέλη σε σύνδεση