Κινεζικές Εισαγωγικές Εξετάσεις 2021

Al.Koutsouridis · #1

Κινεζικές Εισαγωγικές Εξετάσεις Στα Μαθηματικά για το έτος 2021.

19. Δίνεται τρίγωνο ABC

με πλευρές a, b, c

απέναντι από τις γωνίες A,B, C

αντίστοιχα. Αν στο τρίγωνο αυτό ισχύει b^2=ac

και $BD \sin \angle ABC = a \sin C$ , όπου

σημείο της πλευράς

:

1) Να αποδείξετε ότι BD=b

.

2) Αν AD=2DC

, να βρείτε το $\cos \angle ABC$ .

20. Δίνεται τριγωνική πυραμίδα ABCD

με το επίπεδο ABD

να είναι κάθετο στο επίπεδο BCD

,

και

το μέσο της ακμής

. Όπως φαίνεται στο σχήμα.

1) Να αποδείξετε ότι $OA \perp CD$ .

2) Αν το τρίγωνο OCD

είναι ισόπλευρο με μήκος πλευράς

, το

σημείο της ακμής

ώστε

και το μέτρο της δίεδρης γωνίας μεταξύ των επιπέδων EBC

,

είναι

, να βρείτε τον όγκο της τριγωνικής πυραμίδας ABCD

.

: Screen Shot 2022-06-12 at 12.40.39.png (40.53 KiB) Προβλήθηκε 3375 φορές

21. Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων xOy

δίνονται τα σημεία $F_{1}(-\sqrt{17}, 0)$ , $F_{2}(\sqrt{17},0)$ και σημείο

που ικανοποιεί την σχέση $MF_{1}-MF_{2}=2$ . Ας είναι

η καμπύλη στην οποία κινείται το σημείο

.

1) Να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης

.

2) Έστω

σημείο της ευθείας $x= \dfrac{1}{2}$ και δυο ευθείες που διέρχονται από το σημείο

και τέμνουν την καμπύλη

στα σημεία A,B

και

αντίστοιχα, ώστε $TA \cdot TB = TP \cdot TQ$ . Να βρείτε το άθροισμα των κλίσεων των ευθειών

και

.

22. Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x(1-\ln x)$ .

1) Να μελετήσετε την f(x)

ως προς την μονοτονία.

2) Έστω a,b

διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί αριθμοί, που ικανοποιούν την ισότητα $b \ln a -a \ln b=a-b$ . Να αποδείξετε ότι $2 < \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} < e$ .

Υγ. Θα προσπαθήσω σταδιακά να συμπληρώσω την δημοσίευση με κάποια από τα υπόλοιπα θέματα.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 11, 2022 7:12 pm
22. Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x(1-\ln x)$ .

1) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία.

2) Έστω διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί αριθμοί, που ικανοποιούν την ισότητα $b \ln a -a \ln b=a-b$ . Να αποδείξετε ότι $2 < \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} < e$ .

Μοιάζει με το Δ3 των φετινών εξετάσεων.
Η ιδέα του Γιώργου δουλεύει και εδώ.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 20#p348491

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 11, 2022 7:12 pm
Κινεζικές Εισαγωγικές Εξετάσεις Στα Μαθηματικά για το έτος 2021.

19. Δίνεται τρίγωνο με πλευρές απέναντι από τις γωνίες αντίστοιχα. Αν στο τρίγωνο αυτό ισχύει και $BD \sin \angle ABC = a \sin C$ , όπου σημείο της πλευράς :

1) Να αποδείξετε ότι .

2) Αν , να βρείτε το $\cos \angle ABC$ .

Για ευκολία στην πληκτρολόγηση, θεωρώ $\displaystyle A\widehat BC = \widehat B.$

: Κινεζικές-2021.png (8.18 KiB) Προβλήθηκε 3320 φορές

$\displaystyle BD\sin B = a\sin C \Leftrightarrow \frac{{BD}}{a} = \frac{{\sin C}}{{\sin B}} = \frac{c}{b}\mathop \Leftrightarrow \limits^{{b^2} = ac}$ $\boxed{BD=b}$

Είναι $\displaystyle \cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - ac}}{{2ac}}}$ (1)

Εφαρμόζω το θεώρημα $\rm Stewart$ στο τρίγωνο ABC

με τέμνουσα BD:

$\displaystyle {a^2}\frac{{2b}}{3} + {c^2}\frac{b}{3} = {b^2} \cdot b + b \cdot \frac{b}{3} \cdot \frac{{2b}}{3} \Leftrightarrow 6{a^2} + 3{c^2} = 11{b^2} \Leftrightarrow 6{a^2} - 11ac + 3{c^2} = 0,$

απ' όπου παίρνω την δεκτή ρίζα $\displaystyle a = \frac{{3c}}{2}$ και αντικαθιστώντας στη (1)

βρίσκω $\boxed{\cos B = \frac{7}{{12}}}$

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 11, 2022 7:12 pm
Κινεζικές Εισαγωγικές Εξετάσεις Στα Μαθηματικά για το έτος 2021.

19. Δίνεται τρίγωνο με πλευρές απέναντι από τις γωνίες αντίστοιχα. Αν στο τρίγωνο αυτό ισχύει και $BD \sin \angle ABC = a \sin C$ , όπου σημείο της πλευράς :

1) Να αποδείξετε ότι .

2) Αν , να βρείτε το $\cos \angle ABC$ .

: Κινέζοι_2021_a.png (17.47 KiB) Προβλήθηκε 3166 φορές

Έχουν δοθεί (υπόθεση) : ${b^2} = ac\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x\sin B = a\sin C$ .

α) Ας είναι $E = \left( {ABC} \right)$ ,
Θα ισχύουν: $\left\{ \begin{gathered} 2E = ac\sin B = {b^2}\sin B \hfill \\ 2E = ab\sin C \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow b\sin B = a\sin C$

ή λόγω της υπόθεσης: $b\sin B = a\sin C = x\sin B \Rightarrow \boxed{b = x}$ .

β)

: Κινέζοι_2021_b.png (30.38 KiB) Προβλήθηκε 3166 φορές

Από το

και έξω από το τρίγωνο ABC

θεωρώ, πρός τη μεριά του

, ευθύγραμμο τμήμα CS = c

έτσι ώστε : $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {BCA} = \widehat {ACS} = \widehat {{\theta _{}}}$ .

Τα τρίγωνα $CAB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,CSA$ έχουν στο

τις γωνίες τους ίσες και $\dfrac{{CA}}{{CS}} = \dfrac{{CB}}{{CA}} \Leftrightarrow \dfrac{b}{c} = \dfrac{a}{b} \Leftrightarrow {b^2} = ac$ (αληθές από την υπόθεση)

Άρα είναι όμοια με άμεση συνέπεια , $\vartriangle ABD = \vartriangle SCA$ , οπότε $\vartriangle ABC \approx \vartriangle ADB$

Από την ομοιότητα αυτή προκύπτει : $\boxed{a = \dfrac{3}{2}b}\,\,\,\left( 1 \right)$ και έτσι:

$\cos B = \dfrac{{B{C^2} + B{A^2} - A{C^2}}}{{2BC \cdot BA}} = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - ac}}{{2ac}}$ .

Οπότε λόγω της $\left( 1 \right)$ , $\boxed{\cos B = \dfrac{{7{c^2}}}{{12{c^2}}} = \dfrac{7}{{12}}}$

Κινεζικές Εισαγωγικές Εξετάσεις 2021

Κινεζικές Εισαγωγικές Εξετάσεις 2021

Re: Κινεζικές Εισαγωγικές Εξετάσεις 2021

Re: Κινεζικές Εισαγωγικές Εξετάσεις 2021

Re: Κινεζικές Εισαγωγικές Εξετάσεις 2021

Μέλη σε σύνδεση