Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2022

Al.Koutsouridis · #1

Θα προσπαθήσω να μεταφράσω μερικά θέματα των φετινών κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων, συμπληρώνοντας σταδιακά αυτή την δημοσίευση. Τα παρακάτω θέματα είναι ανάμεικτα της ομάδας Α ("γενικής παιδείας" θα λέγαμε) και Β (κατεύθυνσης), θα υποδηλώνεται σε κάθε θέμα. Τα θέματα 1-15 είναι πολλάπλής επιλογής μεταξύ πέντε επιλογών. Στα 16-30 ζητείται μόνο η τελική απάντηση. Τα θέματα μπορούν να βρεθούν εδώ και οι απαντήσεις εδώ.

[9] Έστω P,Q

τα σημεία τομής της ευθείας y=2x+k

με τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

$\displaystyle{y=\left ( \dfrac{2}{3} \right)^{x+3} +1, \quad y=\left ( \dfrac{2}{3}\right)^{x+1} + \dfrac{8}{3}}$ αντίστοχα.

Αν $PQ=\sqrt{5}$ , ποια η τιμή της σταθεράς

;

: Screen Shot 2021-11-21 at 12.07.22.png (26.26 KiB) Προβλήθηκε 5426 φορές

[10] Για την κυβική (πολυώνυμο τρίτου βαθμού) συνάρτηση f(x)

η εφαπτομένη της καμπύλης y=f(x)

στο σημείο της (0,0)

, συμπίπτει με την εφαπτομένη της καμπύλης y=xf(x)

στο σημείο της (1,2)

. Ποια η τιμή της $f^{\prime}(2)$ ;

[11] Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \tan \dfrac{\pi x}{a}}$ ορισμένη στο σύνολο $\displaystyle{\{ x | -\dfrac{a}{2} < x \leq a , x \neq \dfrac{a}{2} \}}$ , όπου

θετικός αριθμός. Καθώς και μια ευθεία που τέμνει την γραφική παράσταση y=f(x)

στα σημεία O,A,B

όπως φαίνεται στο σχήμα. Έστω

το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της y=f(x)

με την παράλληλη ευθεία από το

προς τον άξονα των

, διαφορετικό του

. Αν το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο, πόσο είναι το εμβαδόν του; (Όπου

η αρχή των αξόνων.)

: Screen Shot 2021-11-20 at 21.27.09.png (20.18 KiB) Προβλήθηκε 5472 φορές

[12] Η συνεχής σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς συνάρτηση f(x)

ικανοποιεί την συνθήκη $\{ f(x) \}^3-\{ f(x) \}^2-x^{2}f(x)+x^2=0$ για όλους τους πραγματικούς

. Αν η μέγιστη τιμή της f(x)

είναι

και η ελάχιστη

, ποιά η τιμή της έκφρασης $f\left ( -\frac{4}{3}\right ) + f(0)+f\left ( \frac{1}{2} \right)$ ;

[13] Για δυο σταθερές

και

, η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $\left(a, \log_{2} a\right)$ , $\left ( b, \log_{2} b \right )$ και η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $\left(a, \log_{4} a \right)$ , $\left ( b, \log_{4} b \right )$ στο καρτεσιανό επίπεδο, τέμνουν τον άξονα

στο ίδιο σημείο. Αν για την συνάρτηση $f(x)=a^{bx}+b^{ax}$ είναι f(1)=40

, ποια η τιμή f(2)

;

[14] Η τεταγμένη της θέσης ενός κινούμενου σημείου

την χρονική στιγμή

δίνεται από την σχέση x(t)=t(t-1)(at+b)

, όπου

σταθερές με $(a \neq 0)$ . Αν η ταχύτητα u(t)

του σημείου

την χρονική στιγμή

ικανοποιεί την συνθήκη $\displaystyle{\int_{0}^{1} |u(t)| dt =2}$ , ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς;

i) $\displaystyle{\int_{0}^{1} u(t) dt =0}$ .
ii) Υπάρχει $t_{1}$ που ανήκει στο ανοιχτό διάστημα (0,1)

για το οποίο $\displaystyle{|x(t_{1})| > 1}$ .
iii) Αν |x(t)| <1

για κάθε

με $0 \leq t \leq 1$ , τότε υπάρχει $t_{2}$ του ανοιχτού διαστήματος (0,1)

, ώστε $x(t_{2})=0$ .

[20] Η παραγωγίσημη σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς συνάρτηση f(x)

ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

Α) Στο κλειστό διάστειμα [0,1]

,

.

Β) Στο διάστημα $[0, +\infty )$ για κάποιους σταθερούς αριθμούς a,b

,

.

Να βρείτε την τιμή της έκφρασης $\displaystyle{60\int_{1}^{2} f(x)dx}$ .

[21] Η ακολουθία $\{ a_{n} \}$ ικανοποιεί τις συνθήκες
a) $|a_{1}|=2$
b) Για όλους τους θετικούς ακέραιους

, $|a_{n+1}| =2|a_{n}|$
c) $\displaystyle{\sum_{n=1}^{10} a_{n} =-14}$ .

Ποιά η τιμή του αθροίσματος $a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}+a_{9}$ ;

[22] (Κοινό θέμα Α & Β ομάδας)

Για ένα πραγματικό αριθμό

ας είναι

ο αριθμός των πραγματικών ριζών της εξίσωσης $f^{\prime}\left ( x \right) =0$ στο κλειστό διάστημα [t, t+2]

, όπου

κυβική συνάρτηση με συντελεστή μεγιστοβάθμιου όρου ίσο με $\frac{1}{2}$ . Η συνάρτηση g(t)

ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

Α) Για κάθε πραγματικό αριθμό

, $\displaystyle{\lim_{t \to a^{+}} g(t) + \lim_{t \to a^{-}} g(t) \leq 2}$ .

Β) $\displaystyle{g(f(1))=g(f(4))=2, \quad g(f(0))=1}$ .

Να βρείτε την τιμή f(5)

.

Edit: 30/11/2021 Έγινε διώρθωση στην εκφώνηση του θέματος [14], ύστερα από παρατήρηση του Χρήστου Ντάβα.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 20, 2021 8:24 pm
[20] Η παραγωγίσημη σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς συνάρτηση ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

Α) Στο κλειστό διάστειμα , .

Β) Στο διάστημα $[0, +\infty )$ για κάποιους σταθερούς αριθμούς , .

Να βρείτε την τιμή της έκφρασης $\displaystyle{60\int_{1}^{2} f(x)dx}$ .

Eίναι όλες ωραίες ασκήσεις. Έχουν το κοινό χαρακτηριστικό ότι "πρέπει κάτι να σκεφτείς έξω από την ρουτίνα, αλλά συγχρόνως προσιτά σε αυτόν που θέλει να κάνει ουσιαστικές σπουδές στα Μαθηματικά, Φυσική, Πολυτεχνείο, κλπ". Κάνω την αρχή.

Θέτοντας x=0

, βρίσκουμε f(1)=0+b

. Αλλά στο [0,1]

είναι

, οπότε η προηγούμενη γίνεται b=1

.

Στο ίδιο αυτό διάστημα και εργαζόμενοι με πλευρικό όριο από αριστερά, διαπιστώνουμε ότι f'(x) =x'=1

. Παραγωγίζοντας τώρα την δοθείσα θα βρούμε

f'(x+1)-f(x)-xf'(x)=a

, που για

δίνει

, δηλαδή

.

H δοθείσα τώρα γίνεται f(x+1)=xf(x)+x+1

. Άρα με αλλαγή μεταβλητής x=y+1

έχουμε

$\displaystyle{60\int_{1}^{2} f(x)dx} = 60\int_{0}^{1} f(y+1)dy = 60\int_{0}^{1} (yf(y) +y+1)dy = 60\int_{0}^{1} (y^2 +y+1)dy= 110$ (στην τελευταία ισότητα χρησιμοποίησα το γεγονός ότι για $0\le y \le 1$ ισχύει f(y)=y

).

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 20, 2021 8:24 pm
Θα προσπαθήσω να μεταφράσω μερικά θέματα των φετινών κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων, συμπληρώνοντας σταδιακά αυτή την δημοσίευση. Τα παρακάτω θέματα είναι ανάμεικτα της ομάδας Α ("γενικής παιδείας" θα λέγαμε) και Β (κατεύθυνσης), θα υποδηλώνεται σε κάθε θέμα. Τα θέματα 1-15 είναι πολλάπλής επιλογής μεταξύ πέντε επιλογών. Στα 16-30 ζητείται μόνο η τελική απάντηση.

[9] Έστω τα σημεία τομής της ευθείας με τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

$\displaystyle{y=\left ( \dfrac{2}{3} \right)^{x+3} +1, \quad y=\left ( \dfrac{2}{3}\right)^{x+1} + \dfrac{8}{3}}$ αντίστοχα.

Αν $PQ=\sqrt{5}$ , ποια η τιμή της σταθεράς ;

Έστω $P(a,2a+k)\,,\,Q(b,2b+k)$ , όπου b>a

. Tότε

, οπότε $a-b=\pm 1$ και τελικά b=a+1

.

Από τις δοθείσες καμπύλες έχουμε

για το

ισχύει $\left (\dfrac{2}{3}\right )^{b+1} + \dfrac{8}{3}= 2b+k \, \, (*)$ και

για το

ισχύει $\left (\dfrac{2}{3}\right )^{a+3} + 1= 2a+k$ , ή αλλιώς $\left (\dfrac{2}{3}\right )^{b+2} + 1= 2a+k$ .

Αφαιρούμε κατά μέλη, οπότε $\left (\dfrac{2}{3}\right )^{b+1} - \left ( \dfrac{2}{3}\right )^{b+2}+ \dfrac {5}{3} = 2(b-a)= 2$ .

Άρα $\left (\dfrac{2}{3}\right )^{b+1} \left ( 1- \dfrac{2}{3} \right ) = \dfrac {1}{3}$ , ισοδύναμα $\left (\dfrac{2}{3}\right )^{b+1} =1$ από όπου b=-1

και

. Πίσω στη (*)

, βρίσκουμε $k=\dfrac {17}{3}$ .

Christos.N · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 20, 2021 8:24 pm

[11] Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \tan \dfrac{\pi x}{a}}$ ορισμένη στο σύνολο $\displaystyle{\{ x | -\dfrac{a}{2} < x \leq a , x \neq \dfrac{a}{2} \}}$ , όπου θετικός αριθμός. Καθώς και μια ευθεία που τέμνει την γραφική παράσταση στα σημεία όπως φαίνεται στο σχήμα. Έστω το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της με την παράλληλη ευθεία από το προς τον άξονα των , διαφορετικό του . Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, πόσο είναι το εμβαδόν του; (Όπου η αρχή των αξόνων.)

Screen Shot 2021-11-20 at 21.27.09.png (20.18 KiB) Προβλήθηκε 5239 φορές

Δουλεύουμε στο επόμενο σχήμα

: Στιγμιότυπο από 2021-11-25 09-46-51.png (19.62 KiB) Προβλήθηκε 5239 φορές

Οι συντεταγμένες των A,B,C

καθορίστηκαν από το γεγονός ότι η συνάρτηση είναι περιττή στο διάστημα $(-\frac{a}{2},\frac{a}{2})$ και περιοδική με περίοδο T=a

(τουλάχιστον αν επεκτείναμε το πεδίο ορισμού της), θεωρήθηκε επίσης ότι d>0

.

Επειδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο ισχύει :

1) $x(A)+x(C)=2x(B)\Rightarrow d=\frac{a}{4}$

2) $y(A)=y(C)\Rightarrow tan (-\frac{\pi d}{a})=tan (\frac{\pi(-d+a)}{a})\Rightarrow -\frac{\pi d}{a}=\frac{\pi(-d+a)}{a}-T$

Από τα παραπάνω βρίσκουμε ότι $a=\frac{\pi}{2}$ και $d=\frac{\pi}{8}$ .

Προκύπτει ότι $AC=a=\frac{\pi}{2}$ άρα $(ABC)=\frac{\sqrt{3}}{16}\pi^2$

Υ.Γ. Δυστυχώς το επιχείρημα είναι λάθος καθώς έχω μπερδέψει την περίοδο της συνάρτησης με την εσφαλμένη χρήση της στην λύση της τριγωνομετρικής εξίσωσης. Στο ορθότερο $y(A)=y(C)\Rightarrow tan (-\frac{\pi d}{a})=tan (\frac{\pi(-d+a)}{a})\Rightarrow -\frac{\pi d}{a}=\frac{\pi(-d+a)}{a}-\pi$ θα είχαμε τελικά μια ταυτότητα που για την επίλυση της άσκησης θα ήταν άχρηστη.

Τα σωστά επιχειρήματα και για λόγους πολυφωνίας καθώς παρακάτω έχει δοθεί λύση με χρήση του συντελεστή διεύθυνσης, θα ήταν:

1) $x(A)+x(C)=2x(B)\Rightarrow d=\frac{a}{4}$

2) $AB=AC \Rightarrow d=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Από τα παραπάνω βρίσκουμε ότι $a=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Προκύπτει ότι $a=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ άρα $(ABC)=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

#5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 20, 2021 8:24 pm
[22] (Κοινό θέμα Α & Β ομάδας)

Για ένα πραγματικό αριθμό ας είναι ο αριθμός των πραγματικών ριζών της εξίσωσης $f^{\prime}\left ( x \right) =0$ στο κλειστό διάστημα , όπου κυβική συνάρτηση με συντελεστή μεγιστοβάθμιου όρου ίσο με $\frac{1}{2}$ . Η συνάρτηση ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

Α) Για κάθε πραγματικό αριθμό , $\displaystyle{\lim_{t \to a^{+}} g(t) + \lim_{t \to a^{-}} g(t) \leq 2}$ .

Β) $\displaystyle{g(f(1))=g(f(4))=2, \quad g(f(0))=1}$ .

Να βρείτε την τιμή .

To

είναι δευτεροβάθμιο πολυώνυμο άρα έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. Αφού g(f(1)) = 2

τότε έχει ακριβώς δύο ρίζες, έστω τις r,s

με

. Μάλιστα πρέπει $s-r \leqslant 2$ αφού $f(1) \leqslant r < s \leqslant f(1)+2$ .

Ισχυρίζομαι ότι s-r = 2

. Πράγματι αν s - r = 2-t

με

, τότε για a = r-t/2

είναι

και θα έχουμε $\displaystyle \lim_{t \to a^{+}} g(t) = \lim_{t \to a^{+}} g(t) = 2$ άτοπο.

Από το (Β) τώρα έχουμε r = f(1) = f(4)

και

. Έστω

. Αφού ο συντελεστής μεγιστοβάθμιου όρου του

είναι ίσος με $\frac{1}{2}$ τότε

$\displaystyle f'(x) = \frac{3}{2}(x-k)(x-k-2) = \frac{3}{2}x^2 - 3(k+1)x + \frac{3}{2}k(k+2)$

και

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3(k+1)}{2}x^2 + \frac{3}{2}k(k+2)x + c$

για κάποιο

. Αφού

τότε

$\displaystyle 1 - 3(k+1) + 3k(k+2) = 64 - 48(k+1) + 12k(k+2)$

Καταλήγουμε στην 9k^2 -27k + 18 = 0

που δίνει

ή

.

Αν

τότε $\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3x^2 + \frac{9}{2}x + c$ και αφού f(1) = k = 1

παίρνουμε

. Δηλαδή $\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3x^2 + \frac{9}{2}x -1.$

Σε αυτήν την περίπτωση f(0) = -1

και στο διάστημα [-1,1]

έχουμε ακριβώς μία ρίζα του f'(x)

(οι ρίζες είναι οι

και 3) το οποίο είναι αποδεκτό.

Αν k=2

τότε $\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 12x + c$ και αφού f(1) = k = 2

παίρνουμε

. Δηλαδή $\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 12x -6$

Σε αυτήν την περίπτωση f(0) = -6

και στο διάστημα [-6,-4]

δεν έχουμε καμία ρίζα του f'(x)

(οι ρίζες είναι οι

και 4) που απορρίπτεται.

Τελικά $\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 12x -6$ που δίνει f(5) = 4

.

kfd · #6

Για το 11:
Αφού ΑΒC ισόπλευρο δεν πρέπει η ΑΒ να είναι η $y=\sqrt{3}x$ ;
Με το $B(\frac{\pi }{8},1)$ πώς προκύπτει αυτό;

Christos.N · #7

kfd έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 25, 2021 7:35 pm
Για το 11:
Αφού ΑΒC ισόπλευρο δεν πρέπει η ΑΒ να είναι η $y=\sqrt{3}x$ ;
Με το $B(\frac{\pi }{8},1)$ πώς προκύπτει αυτό;

Έχεις δίκιο θα το κοιτάξω αναλυτικά αργότερα . Αν βρεις το λάθος στην παραπάνω λύση σημείωσε το .

kfd · #8

$\frac{tan\left ( \frac{\pi d}{\alpha } \right )}{d}=\sqrt{3}, d^{2}+tan^{2}\frac{\pi d}{\alpha }=\frac{\alpha ^{2}}{4}$
που δίνει $\frac{d}{\alpha }=\frac{1}{4}$ .
$AB^{2}=4+4d^{2}=\alpha ^{2}$ και $d=\frac{1}{\sqrt{3}},\alpha =\frac{4}{\sqrt{3}}.$
To εμβαδό είναι $\frac{4}{\sqrt{3}}.$

Al.Koutsouridis · #9

Ευχαριστούμε για το χρόνο και τις λύσεις! Από την πλευρά μου να σημειώσω ότι συμπλήρωσα την αρχική ανάρτηση με μερικά ακόμα θέματα (10, 12, 13,14, 21). Επίσης παρατήρησα ότι από φέτος άλλαξε λίγο ο τρόπος διεξαγωγής και τα θέματα 23-30 χωρίζονται σε ενότητες (στοχαστικά, γεωμετρία, ανάλυση), όπου ο μαθητής πιθανόν να διαλέγει μερικά από κάθε ενότητα (θα το κοιτάξω). Τα θέματα αυτά θα προσπαθήσω να τα μεταφέρω σε ένα διαφορετικό νήμα το επόμενο διάστημα.

Christos.N · #10

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 20, 2021 8:24 pm

[10] Για την κυβική (πολυώνυμο τρίτου βαθμού) συνάρτηση η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο της , συμπίπτει με την εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο της . Ποια η τιμή της $f^{\prime}(2)$ ;

Έστω $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,~x\in\mathbb{R}$

Τότε:

1) $(0,0)\in C_f \Rightarrow f(0)=0\Rightarrow d=0$

2) $(1,2)\in C_g, _{g(x)=xf(x)}\Rightarrow f(1)=2\Rightarrow a+b+c=2$

3) $\varepsilon_{(0,0)}\equiv \varepsilon_{(1,2)}\Rightarrow f'(0)=f'(1)+2=2 \Rightarrow\left\{ \begin{matrix} c=2\\3a+2b=-2 \end{matrix}\right.$

Από τα 1),2),3) προκύπτει ότι $f'(x)=-6x^2+4x+2\Rightarrow f'(2)=-14$

Christos.N · #11

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 20, 2021 8:24 pm

[12] Η συνεχής σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς συνάρτηση ικανοποιεί την συνθήκη $\{ f(x) \}^3-\{ f(x) \}^2-x^{2}f(x)+x^2=0$ για όλους τους πραγματικούς . Αν η μέγιστη τιμή της είναι και η ελάχιστη , ποιά η τιμή της έκφρασης $f\left ( -\frac{4}{3}\right ) + f(0)+f\left ( \frac{1}{2} \right)$ ;

Αν

τότε από την $\{ f(x) \}^3-\{ f(x) \}^2-x^{2}f(x)+x^2=0$ έχουμε x_0=0

, μοναδική ρίζα που ταυτίζεται εδώ με το ελάχιστο .

Από την $\{ f(x) \}^3-\{ f(x) \}^2-x^{2}f(x)+x^2=0$ με παραγοντοποίηση έχουμε (f(x)-1)(f^2(x)-x^2)=0

Αν

επειδή $f(x)\leq 1$ η παραπάνω δίνει f(x)=1

, λόγω της συνέχειας στο $\pm1$ είναι $f(x)=1,~|x|\geq1$

Αν |x|<1

τότε για κάθε $x\in(-1,1)$ θα είναι f(x)=1

είτε

.

Έστω

όπου

.

Τότε στο [0,a]

ή στο

έχουμε

και από το θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών προκύπτει ότι

υπάρχει τουλάχιστον ένα $c\in(0,a)$ ή $c\in(a,0)$ με f(c)=|a|

.

Διακρίνουμε περιπτώσεις , αν a>0

τότε

, επειδή

ή

σε κάθε περίπτωση άτοπο, ομοίως αν a<0

.

Άρα

.

Τελικά $f(x)=\begin{cases}{|x|,~|x|<1\\1,~~|x|\ge1}\end{cases}$

η τιμή της έκφρασης $f\left ( -\frac{4}{3}\right ) + f(0)+f\left ( \frac{1}{2} \right)$ θα είναι ίση με $1+0+ \frac{1}{2}= \frac{3}{2}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Christos.N · #12

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 20, 2021 8:24 pm
[13] Για δυο σταθερές και , η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $\left(a, \log_{2} a\right)$ , $\left ( b, \log_{2} b \right )$ και η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $\left(a, \log_{4} a \right)$ , $\left ( b, \log_{4} b \right )$ στο καρτεσιανό επίπεδο, τέμνουν τον άξονα στο ίδιο σημείο. Αν για την συνάρτηση $f(x)=a^{bx}+b^{ax}$ είναι , ποια η τιμή ;

Με την παρατήρηση ότι $log_a x=log_{a^2} x^2$ (είναι και άσκηση του σχολικού της Άλγεβρας Β' Λυκείου στην παρ. 5.2_6 Β)

άρα με χρήση μιας παραλλαγής της παραπάνω $\frac{1}{2}log_a x=log_{a^2} x$ για τις ευθείες

$y-log_2 a=\frac{log_2 b-log_2 a}{b-a}(x-a)$ και $y-log_4 a=\frac{log_4 b-log_4 a}{b-a}(x-a)$ οι οποίες τέμνονται επί του κατακόρυφου άξονα y'y

προκύπτει

$log_2 a-\frac{log_2 b-log_2 a}{b-a}a=\frac{1}{2}log_2 a-\frac{1}{2}\frac{log_2 b-log_2 a}{b-a}a \Rightarrow...a^b=b^a$

Από την f(1)=40

είναι και

, τελικά

και $f(2)=a^{2b}+b^{2a}=2(a^b)^2=800$

Christos.N · #13

Αν γίνεται να δούμε αυτό.

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 20, 2021 8:24 pm

[14] Η τεταγμένη της θέσης ενός κινούμενου σημείου την χρονική στιγμή δίνεται από την σχέση , όπου σταθερές με $(a \neq 0)$ . Αν η ταχύτητα του σημείου την χρονική στιγμή ικανοποιεί την συνθήκη $\displaystyle{\int_{0}^{1} |u(t)| dt =2}$ , ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς;

i) $\displaystyle{\int_{0}^{1} u(t) dt =0}$ .
ii) Υπάρχει $t_{1}$ που ανήκει στο ανοιχτό διάστημα για το οποίο $\displaystyle{|x(t_{1})| > 1}$ .
iii) Αν για κάθε με $0 \leq t \leq 1$ , τότε υπάρχει $t_{2}$ του ανοιχτού διαστήματος , ώστε $x(t_{2})=0$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #14

Christos.N έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 10, 2021 2:27 pm
Αν γίνεται να δούμε αυτό.

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 20, 2021 8:24 pm

[14] Η τεταγμένη της θέσης ενός κινούμενου σημείου την χρονική στιγμή δίνεται από την σχέση , όπου σταθερές με $(a \neq 0)$ . Αν η ταχύτητα του σημείου την χρονική στιγμή ικανοποιεί την συνθήκη $\displaystyle{\int_{0}^{1} |u(t)| dt =2}$ , ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς;

i) $\displaystyle{\int_{0}^{1} u(t) dt =0}$ .
ii) Υπάρχει $t_{1}$ που ανήκει στο ανοιχτό διάστημα για το οποίο $\displaystyle{|x(t_{1})| > 1}$ .
iii) Αν για κάθε με $0 \leq t \leq 1$ , τότε υπάρχει $t_{2}$ του ανοιχτού διαστήματος , ώστε $x(t_{2})=0$ .

Είναι

Το i) είναι προφανώς σωστό.
Το ii) είναι σίγουρα λάθος αν δούμε την υπόθεση του iii)
Για να το δούμε
Εστω 0<c<1

Είναι
$\displaystyle 2=\int_{0}^{1}|x'(t)|dt\geq \int_{0}^{c}x'(t)dt-\int_{c}^{1}x'(t)dt=2x(c)$
και
$\displaystyle 2=\int_{0}^{1}|x'(t)|dt\geq -\int_{0}^{c}x'(t)dt+\int_{c}^{1}x'(t)dt=-2x(c)$
Αρα
$|x(c)|\leq 1$
που δίνει αυτό που θέλουμε.

Το iii) είναι σωστό .Δίνω μια υπόδειξη.Αν δεν γραφεί λύση θα γράψω
(αυτή την στιγμή δεν έχω χρόνο να την γράψω)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Al.Koutsouridis · #15

έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 20, 2021 8:24 pm

[14] Η τεταγμένη της θέσης ενός κινούμενου σημείου την χρονική στιγμή δίνεται από την σχέση , όπου σταθερές με $(a \neq 0)$ . Αν η ταχύτητα του σημείου την χρονική στιγμή ικανοποιεί την συνθήκη $\displaystyle{\int_{0}^{1} |u(t)| dt =2}$ , ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς;

i) $\displaystyle{\int_{0}^{1} u(t) dt =0}$ .
ii) Υπάρχει $t_{1}$ που ανήκει στο ανοιχτό διάστημα για το οποίο $\displaystyle{|x(t_{1})| > 1}$ .
iii) Αν για κάθε με $0 \leq t \leq 1$ , τότε υπάρχει $t_{2}$ του ανοιχτού διαστήματος , ώστε $x(t_{2})=0$ .

Στην ουσία αυτά που έγραψε ο κ.Σταύρος παραπάνω.

i) $\displaystyle{ \int_{0}^{1} u(t) dt =\int_{0}^{1} x^{\prime}(t) dt=x(1)-x(0)= 0 }$ . Άρα η πρόταση είναι αληθής.

ii) Για το $t_{1}$ αυτής της πρότασης θα ισχύει

$\displaystyle{ 2 = \int_{0}^{1} |u(t)| dt = \int_{0}^{t_{1}} |x^{\prime}(t)| dt +\int_{t_{1}}^{1} |x^{\prime}(t)| dt \geq \left | \int_{0}^{t_{1}} x^{\prime}(t) dt \right | + \left | \int_{t_{1}}^{1} x^{\prime}(t) dt \right | = }$

$\displaystyle{= \left | x(t_{1}) -x(0)\right | + \left | x(1)-x(t_{1})\right | =2 \left | x(t_{1}) \right| \Rightarrow \left | x(t_{1}) \right| \leq 1}$ . Άρα η πρόταση αυτή είναι ψευδής.

iii) Έστω ότι δεν υπάρχει τέτοιο $t_{2}$ , δηλαδή υποθέτουμε ότι η τρίτη ρίζα της εξίσωσης x(t)=0

είναι εκτός του διαστήματος (0,1)

. Άρα η $x^{\prime}(t) = u(t)$ θα μηδενίζεται σε ένα μοναδικό σημείο του διαστήματος (0,1)

, έστω το $t_{0}$ (η x(t)

είναι πολυώνυμο τρίτου βαθμού).

Εκατέροθεν του $t_{0}$ η $u(t)=x^{\prime}(t)$ θα αλλάζει πρόσημο. Έστω ότι στο $(0,t_{0})$ είναι θετική και στο $(t_{0}, 1)$ αρνητική. Τότε θα έχουμε

$\displaystyle{2=\int_{0}^{1} |u(t)| dt = \int_{0}^{t_{0}} x^{\prime}(t) dt - \int_{t_{0}}^{1} x^{\prime}(t) dt = 2x(t_{0}) < 2}$ . Άτοπο.

Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο αν η $x^{\prime}(t)$ είναι αρνητική στο $(0,t_{0})$ και θετική στο $(t_{0}, 1)$ .

Επομένως η πρόταση είναι αληθής.

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2022

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2022

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2022

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2022

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2022

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2022

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2022

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2022

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2022

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2022

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2022

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2022

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2022

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2022

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2022

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2022

Μέλη σε σύνδεση