Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016

Al.Koutsouridis · #1

Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016.

Οι μαθητές των θεωρητικών επιστημών πρέπει να λύσουν τα θέματα των ενοτήτων 1 και 2 (προβλήματα 1-20, σύνολο 160 μόρια, χρόνος 2 ώρες). Οι μαθητές των θετικών επιστημών πρέπει να λύσουν και τις τρεις ενότητες (προβλήματα 1-23, σύνολο 200 μόρια, χρόνος δυόμιση ώρες).

Ενότητα 1. Συμπληρώστε τα κενά (14 ερωτήσεις, 5 μόρια η καθεμία, σύνολο 70 μόρια).

1. Δίνονται τα σύνολα $Α=\left \{-1,2,3,6 \right \}$ και $B=\left \{ x, -2 < x<3 \right \}$ , $A \cap B = .....$ .

2. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z=(1+2i)(3-i)

, όπου

η μιγαδική μονάδα. Το πραγματικό μέρος του

είναι

.

3. Στο καρτεσιανό επίπεδο xOy

η απόσταση μεταξύ των εστιών της υπερβολής $\dfrac{x^2}{7} -\dfrac{y^2}{3}=1$ είναι

.

4. Δεδομένου των δηγμάτων $4,7\quad , \quad 4,8 \quad ,\quad 5,1 \quad, \quad 5,4 \quad, \quad5,5$ η τυπική απόκλιση ισούται με

.

5. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $y=\sqrt{3-2x-x^2}$ είναι

.

6. Δεδομένου του διαγράμματος ροής του παρακάτω αλγορίθμου, η έξοδος είναι ίση με

.

: china_2016_6.png (54.08 KiB) Προβλήθηκε 5219 φορές

7. Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι (κύβο με τους αριθμούς 1,2,3,4,5,6

σε κάθε έδρα) δυο φορές. Η πιθανότητα του αθροίσματος των αριθμών της πάνω έδρας να είναι μικρότερο του

είναι

.

8. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος $\left \{ a_{n} \right \}$ , $S_{n}$ είναι το άθροισμα των πρώτων

όρων της. Αν $a_{1}+a_{2}^{2}=-3$ , $S_{5}=10$ , τότε η τιμή του $a_{9}$ είναι

.

9. Ο αριθμός των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $y=\sin 2x$ και $y=\cos x$ στο διάστημα $[0, 3 \pi]$ είναι

.

10. Στο παρακάτω σχήμα,

είναι η δεξιά εστία της έλλειψης $\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{y^2}{b^2} =1$ , (a>0, b>0)

. Η ευθεία $y=\dfrac{b}{2}$ τέμνει την έλλειψη στα σημεία B,C

και $\angle BFC =90^0$ . Τότε η εκκεντρότητα της έλλειψης ισούται

.

: china_2016_10.png (49.65 KiB) Προβλήθηκε 5219 φορές

11. Έστω f(x)

περιοδική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ και περίοδο

. Στο διάστημα [-1,1)

$\left\{\begin{matrix} f(x)= x+a , \quad -1 \leq x <0 \\ f(x)=\left |\dfrac{2}{5}-x \right |, \quad 0 \leq x <1 \end{matrix}\right.$

Όπου $a \in \mathbb{R}$ . Αν $f\left (-\dfrac{5}{2} \right )= f \left ( \dfrac{9}{2} \right)$ , τότε f(5a)

ισούται

.

12. Οι πραγματικοί αριθμοί x,y

ικανοποιούν το σύστημα

$\left\{\begin{matrix} x-2y+4 \geq 0, \\ 2x+y-2 \geq 0 \\ 3x-y-4 \leq 0 \end{matrix}\right.$

Τότε το εύρος τιμών της παράστασης x^2+y^2

είναι

.

13. Στο παρακάτω τρίγωνο ABC

το σημείο

είναι το μέσο του τμήματος

. Τα σημεία E,F

χωρίζουν το

σε τρία ίσα μέρη. $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CA} =4 ,$ $\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{CF} =-1$ . Τότε $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CE} =....$ .

: china_2016_13.png (50.3 KiB) Προβλήθηκε 5219 φορές

14. Αν σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC

ισχύει $\sin A = 2 \sin B \sin C$ , τότε η μέγιστη τιμή της παράστασης $\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$ είναι

.

Έπεται δημοσίευση με τα θέματα της 2ης ενότητας...

Al.Koutsouridis · #2

Ενότητα 2. Λύστε τα παρακάτω ερωτήματα ( 6 ερωτήσεις, σύνολο 90 μόρια).

15. [14 μόρια] Στο τρίγωνο ABC

είναι

, $\cos B=\frac{4}{5}, C=\dfrac{\pi}{4}$ .

(1) Πόσο ισούται το μήκος του τμήματος

;
(2) Ποια η τιμή του $\cos (A-\frac{\pi}{6})$ ;

16. [14 μόρια] Στο ορθό τριγωνικό πρίσμα $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ παρακάτω D,E

είναι τα μέσα των ακμών AB,BC

αντίστοιχα. Το σημείο

βρίσκεται στο $BB_{1}$ , $B_{1}D \perp A_{1}F$ , $A_{1}C_{1} \perp A_{1}B_{1}$ . Να αποδείξετε ότι:

(1)

παράλληλη στο επίπεδο $A_{1}C_{1}F$ .
(2) Το επίπεδο $B_{1}DE$ είναι κάθετο στο επίπεδο $A_{1}C_{1}F$ .

: china_2016_16.png (65.2 KiB) Προβλήθηκε 5215 φορές

17. [14 μόρια] Θέλουμε να σχεδιάσουμε μια αποθήκη που αποτελείται από δυο μέρη. Το άνω μέρος είναι μια τετραγωνική πυραμίδα $PA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ και το κάτω μέρος ένα τετραγωνικό ορθό πρίσμα $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ (όπως στο σχήμα παρακάτω). Το ύψος $OO_{1}$ της ορθής τετραγωνικής πυραμίδας πρέπει να είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερο από το ύψος $PO_{1}$ της τετραγωνικής πυραμίδας.

(1) Αν AB=6m

,

πόσο είναι ο όγκος της αποθήκης;
(2) Αν η παράπλευρη ακμή της τετραγωνικής πυραμίδας είναι

, ποιο είναι το μήκος του $PO_{1}$ που μεγιστοποιεί τον όγκο της αποθήκης;

: china_2016_17.png (59.33 KiB) Προβλήθηκε 5215 φορές

18. [16 μόρια] Στο καρτεσιανό επίπεδο xOy

ο κύκλος

με κέντρο

περιγράφεται από την εξίσωση x^2+y^2-12x-14y+60=0

και

σημείο του

.

(1) Έστω ο κύκλος

εφάπτεται του άξονα

και εξωτερικά του κύκλου

. Το κέντρο του

βρίσκεται στην ευθεία x=6

. Ποια η εξίσωση του κύκλου

;

(2) Έστω

ευθεία παράλληλη στο

και τέμνει τον

στα σημεία B,C

. Εξάλλου

. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας

;

(3) Έστω το σημείο T(t,0)

ικανοποιεί τις εξής συνθήκες: υπάρχουν σημεία P,Q

στον

, ώστε $\overrightarrow{TA} +\overrightarrow{TP} = \overrightarrow{TQ}$ . Ποιο είναι το σύνολο τιμών των τιμών του

;

: china_2016_18.png (40.09 KiB) Προβλήθηκε 5215 φορές

19. [16 μόρια] Δίνεται η συνάρτηση f(x)=a^x+b^x

( $a>0, b>0, a \neq 1, b \neq 1$ ).

(1) Έστω $a=2, b=\frac{1}{2}$ .
(a) Λύστε την εξίσωση f(x)=2

.
(b) Για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει $f(2x) \geq mf(x)-6$ . Ποια η μέγιστη δυνατή τιμή του

;

(2) Αν 0< a < 1, b >1

και η συνάρτηση g(x)=f(x)-2

μηδενίζεται σε ένα μόνο σημείο, ποια η τιμή του γινομένου

;

20. [16 μόρια] Έστω $U=\left \{1,2, \ldots , 100 \right \}$ και $\left \{a_{n \right \}$ ( $n \in \mathbb{N}^{+}$ ) μια ακολουθία. Έστω

ένα υποσύνολο του

. Ορίζουμε $S_{T} =0$ αν $T= \varnothing$ και $S_{T}=a_{t_{1}}+ a_{t_{2}}+ \ldots + a_{t_{k}}$ αν $T=\left \{ t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{k} \right \}$ . Για παράδειγμα, αν $T=\left \{ 1,3,66 \right \}$ , τότε $S_{T}=a_{1}+a_{3}+a_{66}$ . Τώρα υποθέστε ότι η ακολουθία $\left \{ a_{n} \right \}$ ( $n \in \mathbb{N}^{+}$ ) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο

. Εξάλλου $S_{T}=30$ για $T=\left \{ 2,4 \right \}$ .

(1) Ποιος είναι ο τύπος της ακολουθίας $\left \{ a_{n} \right \}$ ;

(2) Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $1 \leq k \leq 100$ , αν $T \in \left \{ 1,2,…,k \right \}$ , τότε $S_{T} < a_{k+1}$ .

(3) Έστω $C \subset U$ , $D \subset U$ , $S_{C} \geq S_{D}$ . Να αποδείξετε ότι $S_{C}+S_{C \cap D} \geq 2S_{D}$ .

Ακολουθεί δημοσίευση με τα θέματα της 3ης ενότητας...

Al.Koutsouridis · #3

Ενότητα 3. Επιπλέον προβλήματα για τους μαθητές των θετικών επιστημών (σύνολο 40 μόρια).

21. Διαλέξτε δύο από τα τέσσερα ερωτήματα.

(Α) (Άσκηση πάνω σε γεωμετρικές αποδείξεις, 10 μόρια)
Στο τρίγωνο ABC

είναι $\angle ABC=90^0$ , $BD \perp AC$ .

είναι το μέσο της

. Να αποδείξετε ότι $\angle EDC=\angle ABD$ .

: china_2016_21.png (42.15 KiB) Προβλήθηκε 5214 φορές

(B) (Άσκηση πάνω στους πίνακες και μετασχηματισμούς, 10 μόρια)
Δίνεται ο πίνακας $A= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}$ και ο αντίστροφος πίνακας του

, $Β^{-1}=\begin{vmatrix} 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$ . Πόσο ισούται το γινόμενο

;

( C ) (Σύστηματα συντεταγμένων και παραμετρικές εξισώσεις, 10 μόρια)
Στο καρτεσιανό σύστημα xOy

δίνεται η παραμετρική εξίσωση της ευθείας

$x=1 + \frac{1}{2}t, y=\frac{\sqrt{3}}{2}t$ , όπου

παράμετρος. Η παραμετρική εξίσωση της έλλειψης

είναι $x=\cos \theta, y=2\sin \theta$ , όπου $\theta$ παράμετρος. Έστω ότι η ευθεία

τέμνει την έλλειψη

σε δυο σημεία A,B

. Πόσο είναι το μήκος του τμήματος

;

(D) (ασκήσεις στις ανισότητες, 10 μόρια)
Έστω a > 0

, $|x-1| < \frac{a}{3}$ , $|y-2| < \frac{a}{3}$ . Αποδείξτε ότι |2x+y-4| < a

.

22. [10 μόρια] Στο καρτεσιανό σύστημα xOy

δίνονται η ευθεία

με εξίσωση x-y-2=0

και η παραβολή

με εξίσωση y^2=2px (p>0)

, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

(1) Αν η ευθεία

διέρχεται από την εστία της παραβολής

, ποια η εξίσωσή της;

(2) Υπάρχουν δυο σημεία P,Q

της

έτσι, ώστε τα P,Q

να είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία

.
(a) Να αποδείξετε ότι το μέσο του τμήματος

είναι

.
(b) Ποιο είναι το σύνολο των δυνατών τιμών της παραμέτρου

;

: china_2016_22.png (46.59 KiB) Προβλήθηκε 5214 φορές

23. [10 μόρια]
(1) Ποια η τιμή της έκφρασης $7C_{6}^{3}-4C_{7}^{4}$ ;

(2) Έστω $m,n \in \mathbb{N}^{+}$ , $n \geq m$ . Να αποδείξετε, ότι

$(m+1)C_{m}^{m}+ (m+2)C_{m+1}^{m}+ (m+3)C_{m+2}^{m}+\ldots + nC_{n-1}^{m}+(n+1)C_{n}^{m} = (m+1)C_{n+2}^{m+2}$ .

#4

Πολύ ωραία και ουσιώδη θέματα, που καλύπτουν τεράστιο εύρος ύλης...

#5

ΠΑΡΑ πολύ ωραία θέματα. Ευχαριστούμε θερμότατα τον Αλέξανδρο για την ανάρτησή τους.

Τα θέματα είναι χωρίς ακρότητες και εξετάζουν όλα όσα πρέπει να ξέρει κάποιος που θα ασχοληθεί άμεσα ή έμμεσα με Μαθηματικά.

Παρατηρείστε ότι δεν υπάρχουν ερωτήσεις σε Απειριστικό Λογισμό. Έχω την πεποίθηση και το φωνάζω όπου μπορώ ότι κακώς ο Απειροστικός Λογισμός είναι το κυρίαρχο θέμα στην δική μας ύλη της Γ΄ Λυκείου, και φυσικά στις εισαγωγικές. Το ιδεατό θα ήταν να μην υπάρχει καθόλου! Ο μαθητής πρέπει ΠΡΩΤΑ να μάθει καλά τα κλασικά Μαθηματικά και ΜΕΤΑ να πάει στον Απειροστικό Λογισμό όπου του διδάσκουμε θεωρήματα ύπαρξης ριζών ενώ δεν έχει μάθει να λύνει εξισώσεις, και l' Hospital για να βρίσκει όρια που δεν θα χρειαστεί (και φυσικά ο l' Hospital είναι χωρίς απόδειξη, οπότε τα όρια που βρήκε στην ουσία είναι στην σφαίρα του αυθαίρετου).

Τα Μαθηματικά πρέπει να διδάσκονται με την σωστή σειρά. Δεν αρχίζουμε από το τέλος. Πρέπει επίσης να περιέχουν ουσιαστικές αποδείξεις Θεωρημάτων ώστε να βλέπουν οι μαθητές πλήρεις συλλογισμούς και για να αποκτήσουν την δεξιότητα να στηρίζουν τα επιχειρήματά τους.

...........

Για να αλλάξω θέμα, στην 20 της δεύτερης ενότητας υπάρχει δευτερεύον τυπογραφικό. Το $\in$ πρέπει να γίνει $\subseteq$

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 01, 2021 12:04 am

(2) Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $1 \leq k \leq 100$ , αν $T {\color {red} {\in }} \left \{ 1,2,…,k \right \}$ , τότε $S_{T} < a_{k+1}$ .

#6

Συμφωνώ με το σχολιασμό των κ. κ. Κοντογεώργη και Λάμπρου .

Maria-Eleni Nikolaou · #7

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 31, 2021 11:45 pm

2. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός , όπου η μιγαδική μονάδα. Το πραγματικό μέρος του είναι .

Είναι:

, άρα το πραγματικό μέρος του

είναι

.

3. Στο καρτεσιανό επίπεδο η απόσταση μεταξύ των εστιών της υπερβολής $\dfrac{x^2}{7} -\dfrac{y^2}{3}=1$ είναι .

Για την υπερβολή ισχύει: $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ και $c^2=a^2+b^2\Rightarrow c^2=7+3\Rightarrow c=\sqrt{10}$
Η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι: $2c=2\sqrt{10}$ , διότι: E'(-c,0)

και

.

5. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $y=\sqrt{3-2x-x^2}$ είναι .

Πρέπει: $3-2x-x^2\geq 0\Leftrightarrow x^2+2x-3\leq 0\Leftrightarrow (x+3)(x-1)\leq 0$
Τελικά: $x\in [-3,1]$

6. Δεδομένου του διαγράμματος ροής του παρακάτω αλγορίθμου, η έξοδος είναι ίση με .
china_2016_6.png

Σε γλώσσα python το διάγραμμα ροής γίνεται:

: python.6.png (6.32 KiB) Προβλήθηκε 4710 φορές

Η τιμή εξόδου είναι:

Maria-Eleni Nikolaou · #8

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 31, 2021 11:45 pm

7. Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι (κύβο με τους αριθμούς σε κάθε έδρα) δυο φορές. Η πιθανότητα του αθροίσματος των αριθμών της πάνω έδρας να είναι μικρότερο του είναι .

Θα εξετάσουμε πότε το άθροισμα είναι μεγαλύτερο ή ίσο του

και θα αφαιρέσουμε αυτές τις περιπτώσεις από το σύνολο των δυνατών ρίψεων. Οπότε είναι: $P_1+P_2\geq 10\Rightarrow (P_1,P_2)=(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)$ , συνολικά 6 περιπτώσεις.
Οι δυνατές ρίψεις είναι: $6\cdot 6=36$ οπότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι:
$\dfrac{36-6}{36}\cdot 100\%=\dfrac{5}{6}\cdot 100\%\approx 83,3\%$

8. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος $\left \{ a_{n} \right \}$ , $S_{n}$ είναι το άθροισμα των πρώτων όρων της. Αν $a_{1}+a_{2}^{2}=-3$ , $S_{5}=10$ , τότε η τιμή του $a_{9}$ είναι .

Η ζητούμενη Α.Π. είναι: -4, -1, 2, 5, 8,...

Η διαφορά είναι: $\omega =3$ οπότε: $a_n=a_1+(n-1)\omega \Rightarrow a_9=-4+8\cdot 3\Rightarrow a_9=20$

9. Ο αριθμός των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $y=\sin 2x$ και $y=\cos x$ στο διάστημα $[0, 3 \pi]$ είναι .

Γραφική λύση:

: Κινεζικές εξετάσεις-9.png (24.89 KiB) Προβλήθηκε 4689 φορές

Διαφορετικά λύνουμε την εξίσωση: $\sin 2x=\cos x$ στο $[0, 3 \pi]$ που δίνει τις λύσεις:
$x=\left \{ \dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{\pi}{6},\dfrac{13\pi}{6},\dfrac{17\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6} \right \}$
Δηλαδή, ο αριθμός των σημείων τομής είναι:

Maria-Eleni Nikolaou · #9

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 31, 2021 11:45 pm

12. Οι πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν το σύστημα

$\left\{\begin{matrix} x-2y+4 \geq 0, \\ 2x+y-2 \geq 0 \\ 3x-y-4 \leq 0 \end{matrix}\right.$

Τότε το εύρος τιμών της παράστασης είναι .

Λύνοντας κάθε ανίσωση ως προς

και σχεδιάζοντας τα χωρία, προκύπτει το παρακάτω σχήμα:

: Κινέζικες εισαγωγικές εξετάσεις-12i.png (24.03 KiB) Προβλήθηκε 4648 φορές

: Κινέζικες εισαγωγικές εξετάσεις-12ii.png (4.45 KiB) Προβλήθηκε 4648 φορές

Η μέγιστη τιμή της παράστασης x^2+y^2

προκύπτει για τις τιμές των x,y

στην τομή των ευθειών a,c

δηλαδή, από τη λύση του συστήματός τους:
$\begin{Bmatrix} y=\dfrac{x}{2}+2\\ y=3x-4 \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \left ( x,y \right )=\left ( \dfrac{12}{5},\dfrac{16}{5} \right )$

Οπότε: $\boxed{max=16}$

Η ελάχιστη τιμή της ζητούμενης παράστασης βρίσκεται στην ευθεία b:y=2-2x

οπότε, το ελάχιστο της x^2+y^2

είναι το ελάχιστο της συνάρτησης: $k=\left ( 1-\dfrac{y}{2} \right )^2+y^2$ δηλαδή: $y=\dfrac{-\beta }{2\alpha }\Rightarrow y=\dfrac{2}{5}$
και $min=\dfrac{-\Delta }{4\alpha }\Rightarrow \boxed{min=\dfrac{4}{5}}$

Επομένως, το εύρος τιμών της παράστασης x^2+y^2

είναι: $\left [ \dfrac{4}{5},16 \right ]$

Maria-Eleni Nikolaou · #10

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 31, 2021 11:45 pm

10. Στο παρακάτω σχήμα, είναι η δεξιά εστία της έλλειψης $\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{y^2}{b^2} =1$ , . Η ευθεία $y=\dfrac{b}{2}$ τέμνει την έλλειψη στα σημεία και $\angle BFC =90^0$ . Τότε η εκκεντρότητα της έλλειψης ισούται .
china_2016_10.png

Τα σημεία

έχουν αντίθετες τετμημένες που δίνονται αν στην εξίσωση της έλλειψης αντικαταστήσουμε την τεταγμένη: $y=\dfrac{b}{2}$
Προκύπτει: $B\left ( \dfrac{-a\sqrt{3}}{2},\dfrac{b}{2} \right )$ και $C\left ( \dfrac{a\sqrt{3}}{2},\dfrac{b}{2} \right )$
Επίσης είναι: $b^2=\sqrt{a^2-c^2}\Leftrightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}$ , οπότε: $F\left ( \sqrt{a^2-b^2},0 \right )$
Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο $\triangle{BFC}$ : BC^2=BF^2+FC^2

Έχουμε: $\sqrt{\left ( a\sqrt{3} \right )^2}^2=\sqrt{\left ( \sqrt{a^2-b^2}+\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right )^2+\left ( \dfrac{b}{2} \right )^2}^2 + \sqrt{\left ( \sqrt{a^2-b^2}-\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right )^2+\left ( \dfrac{b}{2} \right )^2}^2$
Μετά από πράξεις προκύπτει: $a^2=3b^2\Rightarrow b=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$
Η εκκεντρότητα της έλλειψης δίνεται από τον τύπο: $\varepsilon =\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}}{a}\Rightarrow \boxed{\varepsilon =\sqrt{\dfrac{2}{3}}}$

add2math · #11

10. Στο παρακάτω σχήμα, F είναι η δεξιά εστία της έλλειψης $\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{y^2}{b^2} =1, (a>0, b>0)$ . Η ευθεία $y=\dfrac{b}{2}$ τέμνει την έλλειψη στα σημεία B,C και $\angle BFC =90^0$ . Τότε η εκκεντρότητα της έλλειψης ισούται ......

10.

Για τα σημεία τομής B,C

της ευθείας και της έλλειψης:

Αφού $y=\frac{b}{2}$ έχω $\frac{x^2}{a^2}+\frac{1}{4}=1$ άρα $\frac{x^2}{ a^2}=\frac{3}{4}$ άρα $x=\pm \frac{\sqrt{3}a}{2}$

και επομένως οι συντεταγμένες των σημείων είναι:
$\displaystyle B\left(-\frac{\sqrt{3}a}{2}{ ,\ \ }\frac{b}{2}{ \ }\right){ ,\ }{ C}\left(\frac{\sqrt{3}a}{2},{ \ }\frac{b}{2}{ \ }\right){ \ και\ }{ F}\left({ \gamma,0}\right)=\left(\sqrt{ a^2-b^2},0\right).$

Αφού $\angle { BFC}=90^o$ έχουμε $\overrightarrow{BF}\bot \overrightarrow{ FC}\Longleftrightarrow \overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{FC}=0$ οπότε

$\displaystyle \left(\sqrt{a^2-b^2}+\frac{\sqrt{3}a}{2}{ ,\ -}\frac{b}{2}{ \ }\right){ \ }\cdot \left(\frac{\sqrt{3}a}{2}-\sqrt{a^2-b^2},{ \ }\frac{b}{2}\right){ =0\ }\Longrightarrow \frac{3a^2}{4}-\left({a^2-b^2}\right){ -}\frac{b^2}{4}{ =0}$

Άρα a^2=3b^2

και $\gamma^2=a^2-b^2=2b^2$

Τελικά $\epsilon=\frac{ \gamma}{ \alpha} =\sqrt{\frac{ 2b^ 2}{ 3 b^ 2}} =\sqrt{\frac{ 2}{ 3}} =\frac{\sqrt{ 6}}{ 3}$ .

13.

Στο παρακάτω τρίγωνο ABC το σημείο D είναι το μέσο του τμήματος BC. Τα σημεία E,F χωρίζουν το AD σε τρία ίσα μέρη. $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CA} =4 , \overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{CF} =-1$ . Τότε $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CE} =....$

Από την $\displaystyle \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CA} = 4$
έχουμε $\displaystyle \left( \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FA} \right) \cdot \left( \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FA} \right) = 4$
άρα
$\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FA} \cdot \left( \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{CF} \right) + {\overrightarrow{FA}}^{2} = 4$ .

Αλλά $\displaystyle \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GF} = \overrightarrow{FA}$
(αφού το

βαρύκεντρο του ABC

και το

παραλληλόγραμμό, βλέπε σχήμα).

: kinezikes13.png (6.7 KiB) Προβλήθηκε 4448 φορές

Άρα $\displaystyle - 1 + \overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FA} + {\overrightarrow{FA}}^{2} = 4$

και τελικά $\displaystyle {\overrightarrow{FA}}^{2} = 2,5$
οπότε $\displaystyle {\overrightarrow{FE}}^{2} = \frac{{\overrightarrow{FA}}^{2}}{4} = 0,625$
(αφού

μέσο του

).

Άρα $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CE} = \left( \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FE} \right) \cdot \left( \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FE} \right) = \overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FE} \cdot \left( \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{CF} \right) + \overrightarrow{FE}^2 =$

$- 1 + \overrightarrow{FE} \cdot \overrightarrow{FA} + 0,625 = - 1 + 1,25 + 0,625 = 0,875 = \frac{7}{8}$ .

--------------------------------
διορθώθηκε ένα διάνυσμα..

add2math · #12

18. [16 μόρια] Στο καρτεσιανό επίπεδο xOy ο κύκλος M με κέντρο M περιγράφεται από την εξίσωση x^2+y^2-12x-14y+60=0 και A(2,4) σημείο του M.

(1) Έστω ο κύκλος N εφάπτεται του άξονα x και εξωτερικά του κύκλου M. Το κέντρο του N βρίσκεται στην ευθεία x=6. Ποια η εξίσωση του κύκλου N;

(2) Έστω l ευθεία παράλληλη στο OA και τέμνει τον M στα σημεία B,C. Εξάλλου AO=BC. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας l;

(3) Έστω το σημείο T(t,0) ικανοποιεί τις εξής συνθήκες: υπάρχουν σημεία P,Q στον M, ώστε $\overrightarrow{TA} +\overrightarrow{TP} = \overrightarrow{TQ}$ . Ποιο είναι το σύνολο τιμών των τιμών του t;
china_2016_18.png

18.
Α) Από την εξίσωση $x^{2} + y^{2} - 12x - 14y + 60 = 0$ έχω με συμπλήρωση τετραγώνου την εξίσωση ${(x - 6)}^{2} - 36 + {(y - 7)}^{2} - 49 + 60 = 0$ , άρα ${(x - 6)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = 5^{2}$

Άρα κύκλος με κέντρο το M(6, 7)

και ακτίνα

.
Το σημείο

έχει λοιπόν την ίδια τετμημένη με το

. Για να εφάπτονται εξωτερικά οι δύο κύκλοι πρέπει η διάκεντρος να είναι ίση με το άθροισμα των ακτινών τους, επομένως
d(M,N)=r_M+r_N

άρα ${|y}_{M} - y_{N}| = 5 + r_{N}$ άρα 7-y_N=5+r_N

: kinezikes2016-problem18a.jpg (31.17 KiB) Προβλήθηκε 4360 φορές

Ο κύκλος

εφάπτεται στον άξονα

άρα

και τελικά y_N=r_N=1

Άρα ο κύκλος

έχει εξίσωση $\displaystyle {(x - 6)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1^{2}$

Β) έχουμε BC//OA

άρα $\lambda_{\text{BC}} = \lambda_{\text{OA}} = \frac{4}{2} = 2$
άρα $\displaystyle l:y = 2x + k\ \Longrightarrow l:2x - y + k = 0$

Φέρουμε το απόστημα

κάθετο στη χορδή

. Οπότε από Πυθαγόρειο θεώρημα στο MBD

έχουμε:
$MD^{2} = AB^{2}-BD^{2} = 25 - \left( \frac{OA}{2} \right)^{2} = 25 - \frac{2^{2} + 4^{2}}{4} = 25 - 5 = 20\ \Longrightarrow MD = 2\sqrt{5}$

Το

είναι η απόσταση του M(6, 7)

από την ευθεία l:2x-y+k=0

Άρα $\displaystyle MD = \frac{|2 \cdot 6 - 7 + \kappa|}{\sqrt{2^{2} + \left( - 1 \right)^{2}}}$
άρα $2\sqrt{5} = \frac{|5 + \kappa|}{\sqrt{5}}$
και τελικά κ=5 ή κ=-15

Άρα η ευθεία είναι η l:2x - y + 5 = 0

ή

Γ) Έχουμε $\overrightarrow{TA} + \overrightarrow{TP} = \overrightarrow{TQ}$
άρα $\overrightarrow{TA} = \overrightarrow{TQ} - \overrightarrow{TP}$
άρα $\overrightarrow{TA} = \overrightarrow{PQ}$
με $\left| \overrightarrow{PQ} \right| \leq 2r_{M} = 10$

: kinezikes2016-problem18c.jpg (30.02 KiB) Προβλήθηκε 4360 φορές

Άρα $\left| \overrightarrow{TA} \right| \leq 10$
οπότε | $\left| \overrightarrow{TA} \right|^{2} \leq 100$
άρα $\left( t - 2 \right)^{2} + {(0 - 4)}^{2} \leq 100$
άρα $\left| t - 2 \right| \leq \sqrt{84}$

Και τελικά $\displaystyle 2 - 2\sqrt{21} \leq t \leq 2 + 2\sqrt{21}$

( C ) (Σύστηματα συντεταγμένων και παραμετρικές εξισώσεις, 10 μόρια)
Στο καρτεσιανό σύστημα xOy δίνεται η παραμετρική εξίσωση της ευθείας l $x=1 + \frac{1}{2}t, y=\frac{\sqrt{3}}{2}t$ , όπου t παράμετρος. Η παραμετρική εξίσωση της έλλειψης C είναι $x=\cos \theta, y=2\sin \theta$ , όπου $\theta$ παράμετρος. Έστω ότι η ευθεία l τέμνει την έλλειψη C σε δυο σημεία A,B. Πόσο είναι το μήκος του τμήματος AB;

21( )

Με απαλοιφή του

έχω εύκολα για την ευθεία $\displaystyle l:x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\ y$

Από την τριγωνομετρική ταυτότητα $\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$
έχουμε για την έλλειψη $\displaystyle C\ :\ x^{2} + \left( \frac{y}{2} \right)^{2} = 1$

Για τα κοινά σημεία των δυο γραμμών έχω $\left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\ y \right)^{2} + \left( \frac{y}{2} \right)^{2} = 1$
οπότε
$1 + 2\frac{\sqrt{3}}{3}\ y + \frac{y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$
οπότε $2\frac{\sqrt{3}}{3}\ y + \frac{7y^{2}}{12} = 0$
και τελικά y = 0

ή $2\frac{\sqrt{3}}{3}\ + \frac{7y}{12} = 0$
$\rightarrow y = - \frac{24}{7\sqrt{3}}$

Άρα $|\Delta y| = \left| y_{A} - y_{B} \right| = \frac{24}{7\sqrt{3}}$ . Έχουμε ακόμα $\left| \Delta x \right| = \left| x_{A} - x_{B} \right| = \ \frac{\sqrt{3}}{3}\left| y_{A} - y_{B} \right| = \frac{8}{7}$
Άρα |AB| =

$\sqrt{\left| \Delta x \right|^{2} + \ \left| \Delta y \right|^{2}} = \sqrt{\frac{64}{49} + \frac{576}{49 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{64}{49}}\sqrt{1 + \frac{9}{3}} = \frac{8}{7} \cdot 2 = \frac{16}{7}$

Maria-Eleni Nikolaou · #13

add2math έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 14, 2022 6:34 pm

13.
Στο παρακάτω τρίγωνο ABC το σημείο D είναι το μέσο του τμήματος BC. Τα σημεία E,F χωρίζουν το AD σε τρία ίσα μέρη. $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CA} =4 , \overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{CF} =-1$ . Τότε $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CE} =....$
Από την $\displaystyle \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CA} = 4$
έχουμε $\displaystyle \left( \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FA} \right) \cdot \left( \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FA} \right) = 4$
άρα
$\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FA} \cdot \left( \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{CF} \right) + {\overrightarrow{FA}}^{2} = 4$ .

Αλλά $\displaystyle \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GF} = \overrightarrow{FA}$
(αφού το βαρύκεντρο του και το παραλληλόγραμμό, βλέπε σχήμα). kinezikes13.png
Άρα $\displaystyle - 1 + \overrightarrow{FA} \cdot {\color{red} \overrightarrow{FE}}+ {\overrightarrow{FA}}^{2} = 4$

και τελικά $\displaystyle {\overrightarrow{FA}}^{2} = 2,5$
οπότε $\displaystyle {\overrightarrow{FE}}^{2} = \frac{{\overrightarrow{FA}}^{2}}{4} = 0,625$
(αφού μέσο του ).

Άρα $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CE} = \left( \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FE} \right) \cdot \left( \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FE} \right) = \overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FE} \cdot \left( \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{CF} \right) + \overrightarrow{FE}^2 =$

$- 1 + \overrightarrow{FE} \cdot \overrightarrow{FA} + 0,625 = - 1 + 1,25 + 0,625 = 0,875 = \frac{7}{8}$ .

Καλησπέρα σας, πολύ ενδιαφέρουσα λύση. Μια μικρή απορία, στο υπογραμμισμένο εννοείτε $\overrightarrow{FA}$ ή χάνω κάτι;

add2math · #14

22. [10 μόρια] Στο καρτεσιανό σύστημα δίνονται η ευθεία με εξίσωση και η παραβολή με εξίσωση , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

(1) Αν η ευθεία διέρχεται από την εστία της παραβολής , ποια η εξίσωσή της;
(2) Υπάρχουν δυο σημεία της έτσι, ώστε τα να είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία .
(a) Να αποδείξετε ότι το μέσο του τμήματος είναι .
(b) Ποιο είναι το σύνολο των δυνατών τιμών της παραμέτρου ;

22.
(1) Η εστία E(p,0)

ανήκει στην ευθεία

με εξίσωση x-y-2=0

άρα

ή

(2)
(a) Έστω P(x_p,y_p ) , Q(x_q,y_q)

οπότε το μέσο του

είναι το σημείο M((x_p+x_q)/2,(y_p+y_q)/2)

Αφού η

είναι άξονας συμμετρίας του

έχουμε $PQ\bot l$
άρα $\lambda_{PQ} \cdot \lambda_{l} = - 1$

άρα $\frac{y_{p} - y_{q}}{x_{p} - x_{q}} \cdot 1 = - 1$
οπότε $\displaystyle \frac{y_{p}\ - \ y_{q}}{\frac{{y_{p}}^{2}}{2p}\ - \ \frac{{y_{q}}^{2}}{2p}} = - 1$
άρα $\displaystyle \frac{2p}{y_{p} + y_{q}} = - 1$
άρα $\displaystyle \frac{y_{p} + y_{q}}{2} = - p$
και τελικά y_M=-p

.
Αφού το

είναι σημείο της

με εξίσωση x-y-2=0

έχουμε ότι x_M-y_M-2=0

άρα

Τελικά το σημείο

είναι το

(b)
Προφανώς θα πρέπει το σημείο

να βρίσκεται δεξιά του άξονα y’y

και ανάμεσα στους δυο κλάδους της παραβολής.
Οπότε πρέπει x_M>0

και $\displaystyle y_{M\ } \in \left\lbrack - \sqrt{2px_{M}},\ \sqrt{2px_{M}} \right\rbrack$
άρα 2-p>0

και $\displaystyle - \sqrt{2px_{M}} \leq - p \leq \ \sqrt{2px_{M}}$
άρα
0<p<2

και $\displaystyle p \leq \ \sqrt{2p \cdot \left( 2 - p \right)}$ ή
0<p<2

και $p^2≤ 2p\cdot (2-p)$ ή
0<p<2

και

ή

και

ή

και

.
Άρα

Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016

Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016

Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016

Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016

Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016

Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016

Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016

Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016

Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016

Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016

Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016

Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016

Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016

Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016

Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016

Μέλη σε σύνδεση