Εισαγωγικές Κρατικό Πανεπιστήμιο Μόσχας, θέμα(τα) 2021

Al.Koutsouridis · #1

Συμπληρωματική εισαγωγική εξέταση στα μαθηματικά, Κρατικό Πανεπιστήμιο Μόσχας. Ιούλιος 2021.

Παραθέτω τις διάφορες εκδόσεις του 6ου ερωτήματος (απο σύνολο 7, το 7ο ήταν στερεομετρία).

6.1 Να βρείτε την μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η έκφραση x+7y

, αν είναι γνωστό ότι τα

και

ικανοποιούν την ισότητα

$\sqrt{xy} +\sqrt{(1-x)(1-y)} = \sqrt{7x(1-y)} +\dfrac{\sqrt{y(1-x)}}{\sqrt{7}}$ .

6.2 Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για τις οποίες η ελάχιστη τιμή (ως προς

) της έκφρασης

$\log_{2}^{2} (ax) +\log_{2}^{2} \left ( \dfrac{1-a}{x}\right )$

μεγιστοποιείται.

6.3 Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για τις οποίες η ανίσωση

$\sin^6 x +\cos^6 x +a\sin 2x \geq a^2$

ικανοποιείται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς

.

6.4 Να βρείτε όλες τις τιμές της παρμαέτρου

, για τις οποίες η εξίσωση

$\left (\sqrt{3+2x-x^2} -\sqrt{3-2x-x^2} \right) \left (\sqrt{a-x^2} -\sqrt{3-2x-x^2} \right) \left (\sqrt{a-x^2} -\sqrt{3+2x-x^2} \right) =0$

έχει ακριβώς μία λύση.

6.5 Να βρείτε όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (x,y)

με την ελάχιστη δυνατή τιμή του

, που ικανοποιούν την ανίσωση

$\log_{x^2-y} \left ( x-y^2+\dfrac{7}{4}\right) \geq 1$ .

6.6 Να βρείτε όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (x,y)

, που ικανοποιούν την ισότητα

$\dfrac{\pi}{2} - \arcsin \left( 1+\log_{2} \left ( x^2+y^2\right) \right) = 1+\log_{2} (xy)$ .

mick7 · #2

Για το 6.1

Τα $\displaystyle x,y\in [0,1]$ προκύπτει από τους περιορισμούς των ριζικών

Πολλαπλασιαζω με $\sqrt{7}$ και εχω

$\displaystyle \sqrt{7xy}+\sqrt{7(1-x)(1-y)}-7\sqrt{x(1-y)}-\sqrt{y(1-x)}=0$

$\displaystyle (\sqrt{7x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{y}-\sqrt{7(1-y)})=0$

Απο την τελευατια εχουμε

$\sqrt{7x}=\sqrt{1-x}\Rightarrow x=\frac{1}{8}$ (1)

και

$\sqrt{y}=\sqrt{7(1-y)}\Rightarrow y=\frac{7}{8}$ (2)

Aπο την (1) και $y\in[0,1]$ η μέγιστη τιμή της παράστασης είναι $x+7y=\frac{1}{8}+7=\frac{57}{8}$

Aπο την (2) και $χ\in[0,1]$ η μέγιστη τιμη της παράστασης είναι $x+7y=1+7\cdot\frac{7}{8}=\frac{57}{8}$

Εισαγωγικές Κρατικό Πανεπιστήμιο Μόσχας, θέμα(τα) 2021

Εισαγωγικές Κρατικό Πανεπιστήμιο Μόσχας, θέμα(τα) 2021

Re: Εισαγωγικές Κρατικό Πανεπιστήμιο Μόσχας, θέμα(τα) 2021

Μέλη σε σύνδεση