Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2019-20 (5)

Al.Koutsouridis · #1

Προσδιορίστε για ποιές τιμές του θετικού πραγματικού αριθμού

το σύστημα

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^2+y^2 < r^2 \\ x^2-16x+y^2+39 <0 \\ y^2-x^2+8x-6y-7 < 0 \end{matrix}\right.}$

επιδέχεται λύση (x,y)

, όπου

παίρνουν πραγματικές τιμές.

Christos.N · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 15, 2021 10:53 am
Προσδιορίστε για ποιές τιμές του θετικού πραγματικού αριθμού το σύστημα

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^2+y^2 < r^2 \\ x^2-16x+y^2+39 <0 \\ y^2-x^2+8x-6y-7 < 0 \end{matrix}\right.}$

επιδέχεται λύση για τυχαίους πραγματικούς .

Αλέξανδρε κάτι δεν καταλαβαίνω στην εκφώνηση, αν δεχτούμε ότι υπάρχει τέτοιος

τότε για τους τυχαίους πραγματικούς x=y=0

έχουμε

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 0< r^2 \\ 39 <0 \\ -7 < 0 \end{matrix}\right.}$

Δηλαδή η δεύτερη δεν επαληθεύεται, άρα δεν υπάρχει τέτοιος

.

Al.Koutsouridis · #3

Christos.N έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 15, 2021 11:13 am

Αλέξανδρε κάτι δεν καταλαβαίνω στην εκφώνηση, αν δεχτούμε ότι υπάρχει τέτοιος τότε για τους τυχαίους πραγματικούς έχουμε

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 0< r^2 \\ 39 <0 \\ -7 < 0 \end{matrix}\right.}$

Δηλαδή η δεύτερη δεν επαληθεύεται, άρα δεν υπάρχει τέτοιος .

Δικό μου λάθος, διορθωσα την εκφώνηση. Είναι σκέτο πραγματικές τιμές και όχι τυχαίες που έγραψα.

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 15, 2021 10:53 am
Προσδιορίστε για ποιές τιμές του θετικού πραγματικού αριθμού το σύστημα

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^2+y^2 < r^2 \\ x^2-16x+y^2+39 <0 \\ y^2-x^2+8x-6y-7 < 0 \end{matrix}\right.}$

επιδέχεται λύση , όπου παίρνουν πραγματικές τιμές.

Οι εξισώσεις γράφονται

x^2+y^2< r^2

(εσωτερικό κύκλου κέντρου

και άγνωστης ακτίνας

(εσωτερικό κύκλου κέντρου (8,0)

και ακτίνας

που είναι δύο κάθετες ευθείες, οι $y=-x+7, \,y-=x+1$ , και το χωρίo είναι το αριστερό και το δεξί τεταρτημόριο του

που σχηματίζουν.

Αν σχεδιάσουμε τις καμπύλες θα δούμε ότι τα κοινά σημεία των δύο τελευταίων ανισώσεων είναι κυκλικός τομέας o οπoίος προκύπτει από την ευθεία y=-x+7

και τον κύκλο (x-8)^2+y^2=5 ^2

. Τα σημεία τομής τους είναι τα $(4,3), \,(11,-4)$ . To πλησιέστερο σημείο αυτού του χωρίου
από το κέντρο του κύκλου x^2+y^2<r^2

είναι το

. Αυτό απέχει

. Άρα πρέπει ο πρώτος κύκλος να έχει ακτίνα τουλάχιστον

.

Συνεπώς η απάντηση στο ερώτημα είναι: r>5

.

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2019-20 (5)

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2019-20 (5)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2019-20 (5)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2019-20 (5)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2019-20 (5)

Μέλη σε σύνδεση