Ολυμπιάδα "Βήμα στο μέλλον" 2021

Al.Koutsouridis · #1

Ολυμπιάδα «Βήμα στο μέλλον» του Κρατικού Τεχνικού Πανεπιστημίου Μόσχας Bauman
Μια από τις εκδόσεις των θεμάτων για το 2021.

1. Ο αριθμός

είναι τέτοιος, ώστε η ανισότητα $\displaystyle{\dfrac{ a_{1} }{ 2a_{2}^{2} } + \dfrac{ 16a_{3}^{4} }{ a_{4}^{6} } \geq b}$ ικανοποιείται για όλους τους μη μηδενικούς θετικούς ακέραιους $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ που ικανοποιούν τις ανισότητες $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq a_{4} \leq 100$ . Να βρείτε την μέγιστη τιμή του

.

2. Η ακολουθία $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ είναι τέτοια, ώστε για όλους τους μη αρνητικούς ακέραιους

και

$(m \geq n)$ ικανοποιείται η σχέση $a_{m+n}+a_{m-n} = \dfrac{1}{2} \left ( a_{2m}+a_{2n}\right )$ . Να βρείτε τον $a_{2021}$ , αν $a_{1}=1$ .

3. Δίνεται τρίγωνο ABC

με την γωνία

ίση με

. Στην προέκταση των πλευρών AB, CB

και της διαμέσου

προς το σημείο

δίνονται τα σημεία K,L,N

αντίστοιχα τέτοια, ώστε BK:AB=3:1

,

. Να βρείτε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC

, αν το εμβαδόν του τριγώνου KLN

είναι ίσο με $6\sqrt{3}$ και η απόσταση του σημείο

από το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του ABC

με την πλευρά

είναι ίση με

.

4. Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για τις οποίες η ανίσωση

$3 \sqrt[3]{\log_{x}^7 2} +6\sqrt[3]{\log_{x}^4 2} +a^2 \leq a\log_{x}^2 2 +2a\log_{x} 2 +3a\sqrt[3]{\log_{x} 2}$

δεν ικανοποιείται για κανένα

του διαστήματος (1,2)

. Υποδείξτε τις λύσεις της ανίσωσης για τις ευρεθείσες τιμές της παραμέτρου

.

5. Στις παράπλευρες ακμές TA, TB, TC

της κανονικής τριγωνικής πυραμίδας TABC

δίνονται αντίστοιχα τα σημεία $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ τέτοια, ώστε $\dfrac{TA}{TA_{1}}=\dfrac{TB}{TB_{1}}=\dfrac{TC}{TC_{1}}=3$ . Το σημείο

είναι το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας στην πυραμίδα $TABC_{1}$ . Να αποδείξετε ότι η ευθεία

είναι κάθετη στο επίπεδο $A_{1}B_{1}C$ . Να βρείτε την ακτίνα αυτής της σφαίρας και τον όγκο της πυραμίδας $TA_{1}B_{1}C$ , αν το μήκος της βάσης είναι AB=1

και η παράπλευρη ακμή $TA=\dfrac{5}{4}$ .

6. Για τον έλεγχο ενός νέου μοντέλου ταχύπλοου διαλέχθηκε ένα τμήμα ακτής που στον χάρτη αναπαρίσταται με ευθεία γραμμή. Κατά μήκος αυτής της ακτής διέρχεται ένας ευθύγραμμος δρόμος, στον οποίο βρίσκεται το σημείο ελέγχου. Σε απόσταση

χμ. από αυτό και κάθετα προς την ακτή βρίσκεται αγκυροβολημένο ένα πλοίο. Το ταχύπλοο κινείτε στην θάλασσα έτσι, ώστε η απόσταση μεταξύ ενός παρατηρητή στο πλοίο και του ταχύπλοου να είναι κάθε στιγμή ίση με την απόσταση μεταξύ του ταχύπλοου και ενός οχήματος που κινείται στο δρόμο. Εξάλλου σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το σημείο

, το σημείο ελέγχου, άξονα τετμημένων κατά μήκος του δρόμου και προς την κατεύθυνση κίνησης του οχήματος και τον άξονα τεταγμένων κατευθυνόμενο προς το πλοίο, οι τετμημένες του οχήματος και του ταχύπλοου κάθε χρονική στιγμή συμπίπτουν. Προσδιορίστε τις συντεταγμένες του ταχύπλοου σε αυτό το σύστημα αξόνων ένα τέταρτο της ώρας μετά την έναρξη κίνησης του οχήματος από το σημείο ελέγχου, αν αυτό κινείται όλη την ώρα στην ίδια κατεύθυνση με σταθερή ταχύτητα

χμ/ώρα.

Ολυμπιάδα "Βήμα στο μέλλον" 2021

Ολυμπιάδα "Βήμα στο μέλλον" 2021

Μέλη σε σύνδεση