ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΧΗΜ. ΜΕΤ. ΤΟΠ. ΑΡΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΧΗΜ. ΜΕΤ. ΤΟΠ. ΑΡΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ
Εξεταστής: Κ. Θεοφιλόπουλος
1. Να βρείτε την αναγκαία συνθήκη ώστε το σύστημα των εξισώσεων
να επιδέχεται κι άλλες λύσεις πλην της προφανούς .
Να βρεθούν επίσης όλες οι ακέραιες τριάδες των ακεραίων οι οποίες ικανοποιούν το σύστημα.
2. Να λυθεί το σύστημα όπου δεδομένος πραγματικός αριθμός.
3. Από τις γεωμετρικές προόδους με πρώτο όρο και λόγο αντίστοιχα και σχηματίζουμε την σειρά,
η οποία έχει όρους τα αθροίσματα των ομοταγών όρων των δυο προόδων.
Εαν από την σειρά αυτή οι τέσσερεις πρώτοι όροι είναι αντίστοιχα οι , να βρεθεί ο νιοστός όρος της.
4. Να λυθεί στο το σύστημα όπου πραγματικοί αριθμοί με
Υ.Γ.1 Σχετικά με το 4ο θέμα, συμπλήρωσα στην εκφώνηση τα κόκκινα γράμματα γιατί τα συστήματα τότε τα έλυναν στο
Υ.Γ.2 Τα θέματα 2,3,4 ήταν κοινά με τα θέματα των υπόλοιπων σχολών Αλλοδαπών (σχετικά)
1. Να βρείτε την αναγκαία συνθήκη ώστε το σύστημα των εξισώσεων
να επιδέχεται κι άλλες λύσεις πλην της προφανούς .
Να βρεθούν επίσης όλες οι ακέραιες τριάδες των ακεραίων οι οποίες ικανοποιούν το σύστημα.
2. Να λυθεί το σύστημα όπου δεδομένος πραγματικός αριθμός.
3. Από τις γεωμετρικές προόδους με πρώτο όρο και λόγο αντίστοιχα και σχηματίζουμε την σειρά,
η οποία έχει όρους τα αθροίσματα των ομοταγών όρων των δυο προόδων.
Εαν από την σειρά αυτή οι τέσσερεις πρώτοι όροι είναι αντίστοιχα οι , να βρεθεί ο νιοστός όρος της.
4. Να λυθεί στο το σύστημα όπου πραγματικοί αριθμοί με
Υ.Γ.1 Σχετικά με το 4ο θέμα, συμπλήρωσα στην εκφώνηση τα κόκκινα γράμματα γιατί τα συστήματα τότε τα έλυναν στο
Υ.Γ.2 Τα θέματα 2,3,4 ήταν κοινά με τα θέματα των υπόλοιπων σχολών Αλλοδαπών (σχετικά)
Re: ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΧΗΜ. ΜΕΤ. ΤΟΠ. ΑΡΧ. ΑΛΛΟΔ
parmenides51 έγραψε: 2. Να λυθεί το σύστημα όπου δεδομένος πραγματικός αριθμός.
Για να ισχύει πρέπει
Για να ισχύει πρέπει και αφού είναι θα είναι και οπότε
Η γίνεται
η οποία είναι δευτεροβάθμια με άγνωστο .
Είναι έτσι ή
απορρίπτεται
Έτσι
Με η δίνει:
Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι:
με που επαληθεύουν το σύστημα
Ηλίας Καμπελής
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13354
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΧΗΜ. ΜΕΤ. ΤΟΠ. ΑΡΧ. ΑΛΛΟΔ
Είναι (ταυτότητα του Lagrange)parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Κ. Θεοφιλόπουλος
4. Να λυθεί στο το σύστημα όπου πραγματικοί αριθμοί με
Επειδή , θα είναι (1)
(2)
Από (1), (2) έχουμε:
.
Από την τελευταία αυτή εξίσωση προκύπτουν οι λύσεις: .
Οπότε οι λύσεις του συστήματος είναι
-
- Δημοσιεύσεις: 1295
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΧΗΜ. ΜΕΤ. ΤΟΠ. ΑΡΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ
Aς δούμε αυτό το θέμα, είναι κατάλληλο για κάποιο φοιτητή που μελετά Γραμμική Άλγεβρα.parmenides51 έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 11, 2014 11:57 pmΕξεταστής: Κ. Θεοφιλόπουλος
1. Να βρείτε την αναγκαία συνθήκη ώστε το σύστημα των εξισώσεων
να επιδέχεται κι άλλες λύσεις πλην της προφανούς .
Να βρεθούν επίσης όλες οι ακέραιες τριάδες των ακεραίων οι οποίες ικανοποιούν το σύστημα.
Iκανή και αναγκαία συνθήκη για να έχει το σύστημα και άλλες λύσεις πλην της προφανούς είναι
Aς δούμε τη μορφή των απείρων λύσεων.
Ας θεωρήσουμε το ως ελεύθερο άγνωστο.
Οι δύο πρώτες εξισώσεις γράφονται
που ισοδύναμα δίνουν
με
Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής
με
Θα βρούμε τώρα τις ακέραιες τριάδες
που ικανοποιούν το σύστημα.
Θέτω με
και έτσι εύκολα βρίσκω και με
Oι άπειρες ακέραιες λύσεις του συστήματος έχουν τη μορφή
με
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης