ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

#161

Με αυτό το ζήτημα του αν μπορούμε να πάρουμε διακρίνουσα ή όχι είχα έλθει αντιμέτωπος και εγώ στην Γ λυκείου και μάλιστα σε μια άσκηση από το βιβλίο του κ.Στεργίου. Εκεί έπερνε διακρίνουσα και έβρισκε την f. Από μέσα μου λέω την πρώτη φορά (λάθος θα είναι γιατί μπορεί να εξαρτάται από το χ κτλ κτλ) και πάω να λύσω την άσκηση και την λύνω με συμπλήρωση τετραγώνου. Μετά συνειδοτοποιώ και λέω "Καλά έτσι δεν αποδεικνύεται ο τύπος της διακρίνουσας?" και ψάχνοντας το λίγο περισσότερο κατέληξα ότι δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα( αν κάποιος έχει το βιβλίο ας μας γράψει και την άσκηση γιατί δεν το έχω μαζί μου). Η τεκμηρίωση του Αλέξανδρου αλλά και του κ.Μαυρογιάννη είναι πληρέστατες και ούτε επιδέχονται βελτίωση ούτε αμφισβήτηση.
Όσο για τον κ.Αχιλλέα θεωρώ ότι δεν έπρεπε καν να κάνει παραπομπή, αφού και μόνο το όνομα του και το κύρος του δίνουν τα ίδια στοιχεία και στο ποστ του.
Θα μου πείτε και τότε γιατί γίνεται τόσος λόγος ; Μα γιατί κάποιοι έχουν μάθει μόνο να διορθώνουν και όχι να διορθώνονται. Το αλάθητο είναι δικό τους και του πάπα και όταν φυσικά εκτίθενται σε ένα τόσο πολυσύχναστο τόπικ που το παρακολουθούν μαθητές, φοιτητές, καθηγητές κτλ κτλ και έχουν φωνάξει κιόλας με bold γράμματα (είναι η τρίτη φορά που το επισημαίνω αυτό και μάλλον θα πρέπει να καταργηθούν τα μεγαλύτερα γράμματα), πώς να πούνε μετα ότι κάναν λάθος ;

Σιλουανός
Υ.Γ Θα ζητούσα από τους συντονιστές να μην διαγράψουν κάτι από τα παραπάνω. Θεωρώ ότι δεν προσβάλλω κανέναν και απλά κάνω κάποιες διαπιστώσεις που είναι εμφανείς (μιλάω για την τελευταία παράγραφο) και απλά δεν θέλω να κρυβόμαστε πίσω από το δάχτυλό μας.

Drunky · #162

sunnyoeo έγραψε:Δεν ξέρω αν είναι σωστή η λύση με διακρίνουσα.Άλλη αιτιολόγηση για το ποιος τυπος γίνεται δεκτός με τη λύση της διακρίνουσας είναι οτι f συνεχής και f(x) διαφορο του μηδενός και f(0) = 3 άρα.....(Δεν χρειαζεται αναφορα της f(x)-x δηλαδή.)

Και γω ακριβως ετσι το εχω αιτιολογησει, με διατηρηση προσημου της f και καμια αναφορα στην f(x) - x...

Παντως, γενικα, χωρις να ειμαι και γω ειδικος πιστευω πως ο τροπος που χρησιμοποιησα εγω, αλλα πιστευω και αλλοι υποψηφιοι, στη συγκεκριμενη περιπτωση μπορει να αποδωσει καθως εχουμε συγκεκριμενες ιδιοτητες που ικανοποιει η f και μπορουμε να οδηγηθουμε με ασφαλεια σε συγκεκριμενο τυπο της...

-Κωστας

chris · #163

manos1992 έγραψε:Aς απαντήσει κι ένας άσχετος από ποσοδείκτες!(εγώ δηλαδή)

έχουμε $\displaystyle f^2(x)-2xf(x)=9\Leftrightarrow f^2(x)-2xf(x)+x^2=9+x^2\Leftrightarrow (f(x)-x)^2=x^2+9....$

ετσι δεν προχωράει η απόδειξη της διακρίνουσας;; Πως σε μια εντελώς σχολική απόδειξη μπλέκονται τόσο σύνθετα εργαλεία;;
Και πάνω απ όλα δεν καταλβαίνω γιατί εφ όσων μπορώ να προχωρήσω με ισοδυναμίες και να βρω τον τύπο της διακρίνουσας, τελικά αυτό δεν είναι ισοδυναμία αλλά τρύπα στο νερό!!

ΥΓ:επειδή τώρα το θυμήθηκα, τι μας πειράζει να σταθεροποιήσουμε ένα x και έτσι να σταθεροποιησουμε και το y φυσικά, αφού μετά για το τυχόν x θα αναζητήσουμε το σωστό τύπο(ξεχωριστά για το καθένα);;

Θα μιλήσω και εγώ ως μη ειδικός και άσχετος απο ποσοδείκτες.
Προσωπικά ασπάζομαι την άποψη του κ.Αχιλλέα και του Μάνου παραπάνω.Αφού αν σταθεροποιήσουμε το χ(και συγχρόνως το y) κάθε φόρα απο τη χρήση της διακρίνουσας ή μέσω ισοδυναμίας για την απόδειξη του τύπου της θα βγάζουμε το σωστό αποτέλεσμα για διαφορετικές τιμές του χ τι μας εμποδίζει στο να τη χρησιμοποιήσουμε.

tindoor2math · #164

AlexandrosG έγραψε:
mathxl έγραψε:
tindoor2math έγραψε:Τι λέτε; Θα κατέβει η βάση του 17.110 στο ΣΕΜΦΕ; Περνάω ή να τα παρατήσω; Δε με ενδιαφέρει άλλη σχολή.
Αν τα παρατήσεις δεν περνάς σίγουρα! Το ότι "έπεσες" σε κάποια μαθήματα, δεν σημαίνει απαραίτητα ότι "έχασες", επιβάλλεται να "σηκωθείς" και να συνεχίσεις τον αγώνα σου.

Η εξεταστική σας διαδικασία δεν έχει ολοκληρωθεί ακόμη, οπότε μια πρόβλεψη είναι μάλλον "αναξιόπιστη". Κάνε ότι καλύτερο μπορείς με όλες σου τις δυνάμεις. Καλή σου επιτυχία
+100000000000

Συνέχισε την προσπάθεια και μην φοβάσαι. Λίγες μέρες κούραση ακόμα και πιστεύω ότι από Σεπτέμβρη θα είμαστε συμφοιτητές.

Οι βαθμοί σου μέχρι τώρα δεν είναι κακοί και δεν ξέρεις μπορεί να είναι μεγαλύτεροι από ότι περιμένεις. Καλή επιτυχία!

Ευχαριστώ, Αλέξανδρε, η Αγία να βάλει το χέρι της (...και όχι μόνο!). Μακάρι να μπεις πρώτος κι εγώ να σ' ακολουθώ.

tindoor2math · #165

mathxl έγραψε:
tindoor2math έγραψε:Τι λέτε; Θα κατέβει η βάση του 17.110 στο ΣΕΜΦΕ; Περνάω ή να τα παρατήσω; Δε με ενδιαφέρει άλλη σχολή.
Αν τα παρατήσεις δεν περνάς σίγουρα! Το ότι "έπεσες" σε κάποια μαθήματα, δεν σημαίνει απαραίτητα ότι "έχασες", επιβάλλεται να "σηκωθείς" και να συνεχίσεις τον αγώνα σου.

Η εξεταστική σας διαδικασία δεν έχει ολοκληρωθεί ακόμη, οπότε μια πρόβλεψη είναι μάλλον "αναξιόπιστη". Κάνε ότι καλύτερο μπορείς με όλες σου τις δυνάμεις. Καλή σου επιτυχία

Ευχαριστώ για το που με νοιάστηκες, Βόρειε Δάσκαλε, θα 'θελα να είχα γεννηθεί κι εγώ (μ)ΠΑΟΚ, όπως κι εσύ όπως κι ο μέντοράς μου, που κι αυτός μ' εμψυχώνει (άτιμη ιχθυόσκαλα). Πήρα κουράγιο κι από σένα κι απ' τον ΑλέξανδροΓ (του ίδιου forum) και πέφτω στη Βιολογία απ' αυτή τη στιγμή με τα μούτρα και μπόλικο κέφι. thx

Μάκης Χατζόπουλος · #166

smar έγραψε: Μα γιατί κάποιοι έχουν μάθει μόνο να διορθώνουν και όχι να διορθώνονται. Το αλάθητο είναι δικό τους και του πάπα και όταν φυσικά εκτίθενται σε ένα τόσο πολυσύχναστο τόπικ που το παρακολουθούν μαθητές, φοιτητές, καθηγητές κτλ κτλ και έχουν φωνάξει κιόλας με bold γράμματα (είναι η τρίτη φορά που το επισημαίνω αυτό και μάλλον θα πρέπει να καταργηθούν τα μεγαλύτερα γράμματα), πώς να πούνε μετα ότι κάναν λάθος ;

Σιλουανέ αναφέρεσαι στον Αντώνη;

Ας μη παίζουμε το κυνήγι των μαγισσών (έτσι και αλλιώς είναι μακριά το Χάρλεμ) αλλά ας μένουμε στο θέμα μας, αν κάποιος πιστεύει ότι προσβάλλεται από αυτά που γράφονται, νομίζω ότι πολύ καλά θα κάνει να υπερασπιστεί τον εαυτό του, αλλά οι προσωπικές κόντρες και μονομαχίες δεν ευνοούν κανένα, συμφωνείς Σιλουανέ;

Δεν νομίζω ότι προκληθήκαμε ή μας πρόσβαλαν την νοημοσύνη μας, του εναντίον παρακολουθούμε μια ενδιαφέρουσα συζήτηση μεταξύ ατόμων με διαφορετικές απόψεις και σκέψεις που τεκμηριώνουν τα συμπεράσματά τους... φυσικά μέσα από αυτή την κουβέντα ο καθένας κουβαλάει το ταμπεραμέντο του, που σε παρακαλώ μην μου το στερήσεις, είναι ένας από τους λόγους που είμαι εδώ, φαντάζεσαι Γιώργο Ρίζο χωρίς χιούμορ? Mathxl χωρίς σουβλάκι; Αντώνη χωρίς bold και κεφαλαία;; Είναι τσίχλα δίχως ζάχαρη!!

Το νεαρό της ηλικία σου μην το αφήσεις να σε παρασύρει σε μονομαχία με τον οποιονδήποτε, αλλά προσπάθησε την δύναμη και την όρεξη που κρύβεις να την παράγεις σε επιχειρήματα και σε έργο (όπως πολύ καλά βλέπουμε να το πράττεις τόσο καιρό), όλοι μας δεν σεβόμαστε και εκτιμούμε τα γραφόμενα του Αχιλλέα και ας κάποιοι διαφωνούν;

Γιατί δε μιλάμε επί της ταμπακιέρας και μένουμε στην κριτική των προσώπων; Ωφελεί πουθενά;
(Προς Θεού μη το πάρεις ως συμβουλή ή κήρυγμα, δεν είχα αυτή την διάθεση - όρεξη,)

Επί της ταμπακιέρας, κύριε Αντώνη να ρωτήσω και εγώ κάτι με την σειρά μου, χωρίς ίχνος προβοκατόρικης διάθεσης,

Στην εξίσωση $\displaystyle{ {\rm{3sin}}^{\rm{2}} x - 2\sqrt 3 \sin x \cdot \cos x + \cos ^2 x = 0 }$ όπου χ γωνία, μπορώ να πάρω διακρίνουσα (με μεταβλητή το χ);

Στην εξίσωση, $\displaystyle{ \sin ^2 x + 2\sin x\cos y + \cos ^2 y - 1 = 0 }$ για χ,y γωνίες από [0, 2π), όμοια;

Tkostas · #167

Σκοπός δεν είναι να προστεθεί ύλη στο σχολείο αλλά να μειωθεί.Να μην ξεχνιόμαστε παρακαλω.

chris · #168

Αλήθεια πιστεύετε οτι αν μειωθεί η ύλη θα ωφελήσει τους μαθητές?Εγώ πιστεύω οτι ένα τέτοιο ενδεχόμενο θα εκτόξευε το βαθμό δυσκολίας των θεμάτων συν του οτι οι μαθητές θα περάσουν και απο το Λύκειο και δε θα ξέρουν στοιχειώδη πράγματα.Για παράδειγμα μιλάμε κάθε χρόνο για τους μιγαδικούς.Εγώ δε βλέπω γιατί πρέπει να αφαιρεθεί ένα τόσο όμορφο κεφάλαιο το οποίο δίνει "τζάμπα'' 25 μονάδες σε έναν μέτριο μαθητή.

Κώστας Μαλλιάκας · #169

Τελικά το θέμα της διακρίνουσας έχει κουράσει και κοντεύουμε να παρεξηγηθούμε και να κατηγορηθούμε κιόλας. Τελευταία τοποθέτηση μου λοιπόν χωρίς να επηρεάσω βαθμολογητές και να "κάψω" τα παιδιά.
Πιθανό αντιπαράδειγμα: Ποια η συνεχής συνάρτηση f στο R για την οποία ισχύει:

$f^2 (x)-(3x-1)f(x)+2x^2 -x = 0 , \forall x \in \mathbb R , f(1)=1$

Η διαδικασία της διακρίνουσας είναι ικανή από μόνη της να βρει την συνάρτηση f;
Εκεί λέω ότι υπάρχει θέμα που πρέπει να προσεχθεί. Δεν απέρριψα την λύση εντελώς και είπα ότι με κατάλληλη αιτιολόγηση των "γκρίζων σημείων" μπορεί να λειτουργήσει. Δεν προτείνω να κόψουν το θέμα από τα παιδιά που το δούλεψαν έτσι. Αν κάποιοι λέτε ότι αυτό θέλουμε κάνετε λάθος. Δημιουργική συζήτηση κάνουμε...
Συγγνώμη για το Latex γιατί δεν το συνήθισα. Πώς μπαίνει στην απάντηση αυτό που γράφεις στο EqEditor;ελπίζω να καταλαβαίνετε τι σχέση θέλω να γράψω
Ευχαριστώ

Συγγνώμη, διόρθωσα το f(1)=1 αντί f(0)=1
*** Έγινε παρέμβαση με LateX από Συντονιστή , ώστε η σχέση να είναι ευανάγνωστη

chris · #170

κ.Κώστα απλά πατήστε αντιγραφή σε αυτά που γράφετε στο EqEditor και επικόληση πάνω στο χώρο που γράφετε τις απαντήσεις.Στη συνέχεια βάλτε το δολλάριο($-shift,4) στην αρχή και στο τέλος των αλγεβρικών παραστάσεων ώστε να εμφανιστούν τελικά σε μορφή Latex.

Και εγώ ψιλοάργησα να το μάθω

szlatan · #171

Καλησπέρα!
Θέλοντας να παραθέσω την άποψη μου για τα φετινά θέματα σαν μαθητής που είμαι έχω να πω τα εξής:
-Η γνώμη μου είναι πως παρόλη την "ευκολία" των θεμάτων που πολλοί επικαλούνται,σίγουρα θα υπάρχει και πάλι μεγάλο ποσοστό μαθητών που έχει γράψει κάτω απο 13-14.
-Επιπλέον, πιστεύω πως με τη συγκεκριμένη θεματολογία άριστοι μαθητές παρέμειναν ως είχαν και σαν αποτέλεσμα οι καλοί που πήγαιναν για έναν ικανοποιητικό βαθμό πλησίασαν τους άριστους.
-Τέλος οι μέτριοι προς καλοί μαθητές(εκεί βάζω και εγώ τον εαυτό μου) που δεν έδωσαν όσοι βαρύτητα έπρεπε στα μαθηματικά προτιμώντας άλλα μαθήματα που θα τους μοριοδοτήσους πιο εύκολα(υποτίθετε τουλάχιστον) να πλησιάσουν τους καλούς γράφοντας έναν αρκετά καλό βαθμο για τα δεδομένα και τις προσδοκίες τους στα μαθηματικά κατεύθυνσης,της τάξεως του 15-17.

Θα ήθελα κλείνοντας να πω πως όσον αφορά την κλίμακα δυσκολίας στα θέματα,πιστεύω πως μόνο το τελεύταιο ερώτημα είναι αυτό που θα μπορούσε να δώσει ένα προβάδισμα στους πολύ καλά διαβασμένους που ίσως τελικά να μην συνέβη.

Η επιτροπή πιστεύω πως ισορρόπησε φέτος κάπως τα πράγματα βάζοντας λίγο πιο απαιτητικά θέματα στα μαθηματικά γενικής ώστε να διαχωρήσουν τους πολύ καλά διαβασμένους(και να χαντακώσει την πλειοψηφία των παιδιών της θεωρητικής)
απο τους απλά διαβασμένους και να βάλουν τέλος σε αυτό τον μύθο ότι τα μαθηματικά κατεύθυνσης είναι τόσο δύσκολα που πρέπει να είσαι ΤΟ μυαλό για να τα ακολουθήσεις και να τα αγαπήσεις και τελικά,όπως τόσα χρόνια γινόταν απο πολλούς,να τα παρατήσεις.
Μακάρι τα πράγματα σε αυτό τον τομέα να αλλάξουν.

Καλή συνέχεια και καλή επιτυχία σε όλους!

Στέλιος

S.E.Louridas · #172

Επιτρέψτε μου κάποιες Μαθηματικές σκέψεις:
Το θέμα Δ με αιχμή το ερώτημα Δ3,οδηγεί σε εύρεση τύπου συνάρτησης μέσω συναρτησιακής εξίσωσης με το πεδίο ορισμού της μάλλιστα να είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Είναι γεγονός ότι τον σημαντικότερο ρόλο στις περιπτώσεις αυτές τον παίζουν οι ποσοδείκτες, έχει μεγάλο πλεονέκτημα όποιος τους χειρίζεται σωστά και αυτό επειδή εξασφαλίζεται εκτός των άλλων το μονοσήμαντο των λύσεων. Για να γίνω κατανοητός θα αναφερθώ εν τάχει σε ένα θέμα της Β.Μ.Ο.-Ρόδος 2007 όπου είχαμε την τιμή να ήμασταν Coordinators τόσο εγώ όσο και ο Αλέξανδρος Συγγελάκης. Το θέμα ζητούσε τον προσδιορισμό των συναρτήσεων $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},$ για τις οποίες ισχύει:
$f\left( {f\left( x \right) + y} \right) = f\left( {f\left( x \right) - y} \right) + 4f\left( x \right)y\;\left( 1 \right),\forall x,y \in \mathbb{R}.$
Εδώ πέρα από την διαπίστωση ότι μία τέτοια συνάρτηση είναι η $f\left( x \right) = 0/\mathbb{R},$ μία λύση
(λάθος παρόλο που οδηγεί στον ίδιο τύπο που οδηγεί η σωστή αντιμετώπιση ) είναι να θεωρήσει κανείς ότι έχει την ίδια συμπεριφορά με την
$f\left( {x + y} \right) - f\left( {x - y} \right) = 4xy,\forall x,y \in \mathbb{R},$
η οποία οδηγεί εύκολα στην
$f\left( u \right) = u^2 + f\left( 0 \right),\forall u \in \mathbb{R}$
(θεωρώντας x+y=u, x-y=v κ.τ.λ.). Το λάθος εδώ είναι ότι οι τιμές f(x) διατρέχουν το πεδίο τιμών της f που δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων ότι είναι το R,άρα ΣΠΑΕΙ το $\forall x \in \mathbb{R}.......$
Έτσι ακολουθείται μία άλλη αντιμετώπιση που οδηγεί πάλι στην λύση
$f\left( x \right) = x^2 + f\left( 0 \right),\forall x \in \mathbb{R}.$
Υπάρχει μία αντιμετώπισή μου σε ημέτερο άρθρο στο περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β΄ (70) -2008 σελ.62.
Στην περίπτωση του θέματος Δ, σταθεροποιώντας τον x έστω σε x_0

σταθεροποιείται ταυτόχρονα και το $f\left( {x_0 } \right)$ .
Όμως το ζεύγος $\left( {x_0 ,f\left( {x_0 } \right)} \right)$
μπορεί να προέλθει και από άλλη συνάρτηση
$g:\mathbb{R} \to \mathbb{R},o\tau \alpha \nu \;f\left( {x_0 } \right) = g\left( {x_0 } \right).$
Επιτρέψτε μου να επισημάνω την διαφορετικότητα της περίπτωσης της εξίσωσης $f\left( x \right)\rho ^2 + g\left( x \right)\rho + h\left( x \right) = 0......$
Κατά την άποψη μου σε περιπτώσεις συναρτησιακών σχέσεων ο ρόλος των ποσοδεικτών Δεν πρέπει να παραλείπεται .Με κάθε επιφύλαξη

Υ.Γ.
Αισθάνομαι την ανάγκη να Επισημάνω ότι όποιος Μαθητής της Γ' λυκείου γράψει λύση παραβλέποντας ίσως κάποιες θεωρητικές λεπτομέρειες τύπου χειρισμού ποσοδεικτών κ.τ.λ. πρέπει να βαθμολογηθεί με Αριστα.
Είναι δυνατόν ο διδάσκων να μπεί διδακτικά σε τέτοιο επίπεδο με βάση το περιβάλλον γνώσης του σχολικού βιβλίου;
Προφανώς Οχι!! Και το λέω επειδή μόλις είδα τις ενδεικτικές λύσεις.Προσοχή προσοχή λοιπόν στην διόρθωση.

S.E.Louridas

#173

Κώστας Μαλλιάκας έγραψε: Πιθανό αντιπαράδειγμα: Ποια η συνεχής συνάρτηση f στο R για την οποία ισχύει:

$f^2 (x)-(3x-1)f(x)+2x^2 -x = 0 , \forall x \in \mathbb R , f(o)=1$

Η διαδικασία της διακρίνουσας είναι ικανή από μόνη της να βρει την συνάρτηση f;

Το

δε μπορεί να είναι 1, άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Μήπως εννοείται f(0)=-1

? Προχωρώ με αυτό το δεδομένο:

Λύση: Έστω πραγματικός

, οποιοσδήποτε μεν αλλά σταθερός. Η διακρίνουσα της αντίστοιχης εξίσωσης είναι (x-1)^2

, οπότε

$f(x)=\frac{3x-1+|x-1|}{2}$ ή $f(x)=\frac{3x-1-|x-1|}{2}$ .

Έχουμε τις περιπτώσεις:

(i) $x\geq 1$ . Τότε

f(x)=2x-1

ή

.

ii) $x\leq 1$ . Τότε

f(x)=x

ή

.

(Στις σχέσεις αυτές φτάνουμε είτε με διακρίνουσα είτε χωρίς, για δοθέν σταθερό

)

Μπορούμε να σχεδιάσουμε τις αντίστοιχες ευθείες σε ορθογώνιο σύστημα συντατεγμένων για να δούμε που τέμνονται. Η συνέχεια και η συνθήκη για το f(0)=-1

θα μας δώσει τις πιθανές λύσεις.

Αφού f(0)=-1

και η

είναι συνεχής, ισχύει

f(x)=2x-1

για κάθε $x\leq 1$ .

Για $x\geq 1$ , λόγω συνέχειας και πάλι έχουμε

f(x)=2x-1

για κάθε $x\geq 1$ ή f(x)=x

για κάθε $x\geq 1$ .

Συνοψίζοντας οι δυνατές λύσεις (με f(0)=-1

είναι δύο:

1) $\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x-1} } & {x \leq 1} \\ {x } & {x\geq 1} \\ \end{array} } \right.}$
και

2) f(x)=2x-1

για κάθε

.

Σημείωση: H διακρίνουσα, όπως έχει τονισθεί πολλές φορές μας δίνει πιθανές τιμές και δεν λύνει το πρόβλημα...από μόνη της.

Φιλικά,

Αχιλλέας

sorfan · #174

Παρακολουθώντας κάποιος όλη τη συζήτηση για το συγκεκριμένο θέμα καταλαβαίνει το πόσο σημαντικός είναι ο χώρος του mathematica. Αυτή η ανταλλαγή απόψεων, με τις όποιες αντιπαραθέσεις, αποτελεί μοναδική προσφορά στην μαθηματική επιστήμη του τόπου μας. Δίνει τη δυνατότητα σε πολλούς συναδέλφους και μαθητές που βρίσκονται μακριά από βιβλιοθήκες, Πανεπιστήμια και χώρους μορφωσης των μεγάλων αστικών κέντρων, να επικοινωνήσουν και να συζητήσουν κάθε θέμα που άπτεται των μαθηματικών ενδιαφερόντων τους.
Όμως, μέσα από όλη αυτή τη συζήτηση προέκυψε και η απορία:
Όταν τέθηκε το ερώτημα Δ3 η δευτερη ομάδα που λύνει τα θέματα στη ΚΕΓΕ προβληματίστηκε στο σημείο αυτό;
Διακρίνουμε τις περπτώσεις:
1. Προβληματίστηκε, εντόπισε το πιθανό πρόβλημα με τους ποσοδείκτες και παρόλα αυτά αποδέχτηκε το θέμα.
2. Προβληματίστηκε αλλά αφού το σχολικό βιβλίο δεν ασχολείται ιδιαίτερα με ποσοδείκτες και τέτοιες λεπτομέρειες το αποδέχτηκε θεωρώντας ότι μία τέτοια λύση θα ληφθεί ως σωστή.
3. Δεν το είδε κανείς στην επιτροπή (Θέλω να πιστεύω ότι το ενδεχόμενο αυτό αποτελεί τον ορισμό του αδύνατου ενδεχομένου).

ΥΓ. Αν μου διέφυγε κάποια περίπτωση συμπλήρώστε την

Βασίλης Καλαμάτας · #175

sorfan έγραψε:Παρακολουθώντας κάποιος όλη τη συζήτηση για το συγκεκριμένο θέμα καταλαβαίνει το πόσο σημαντικός είναι ο χώρος του mathematica. Αυτή η ανταλλαγή απόψεων, με τις όποιες αντιπαραθέσεις, αποτελεί μοναδική προσφορά στην μαθηματική επιστήμη του τόπου μας. Δίνει τη δυνατότητα σε πολλούς συναδέλφους και μαθητές που βρίσκονται μακριά από βιβλιοθήκες, Πανεπιστήμια και χώρους μορφωσης των μεγάλων αστικών κέντρων, να επικοινωνήσουν και να συζητήσουν κάθε θέμα που άπτεται των μαθηματικών ενδιαφερόντων τους.
Όμως, μέσα από όλη αυτή τη συζήτηση προέκυψε και η απορία:
Όταν τέθηκε το ερώτημα Δ3 η δευτερη ομάδα που λύνει τα θέματα στη ΚΕΓΕ προβληματίστηκε στο σημείο αυτό;
Διακρίνουμε τις περπτώσεις:
1. Προβληματίστηκε, εντόπισε το πιθανό πρόβλημα με τους ποσοδείκτες και παρόλα αυτά αποδέχτηκε το θέμα.
2. Προβληματίστηκε αλλά αφού το σχολικό βιβλίο δεν ασχολείται ιδιαίτερα με ποσοδείκτες και τέτοιες λεπτομέρειες το αποδέχτηκε θεωρώντας ότι μία τέτοια λύση θα ληφθεί ως σωστή.
3. Δεν το είδε κανείς στην επιτροπή (Θέλω να πιστεύω ότι το ενδεχόμενο αυτό αποτελεί τον ορισμό του αδύνατου ενδεχομένου).

ΥΓ. Αν μου διέφυγε κάποια περίπτωση συμπλήρώστε την

Συμφωνώ με τις παρατηρήσεις του συναδέλφου και καταθέτω μια προσωπική άποψη για το Δ3.
Οι οδηγίες που δίνονται για τα Μαθηματικά της Γ' Λυκείου (σελίδα 136) αναφέρουν ότι (με μπλε γράμματα):

Εδώ, πρέπει να τονιστεί ιδιαίτερα ότι όταν ισχύει: $f^{2}(x)=g^{2}(x)$ για κάθε $x\epsilon A\subseteq R$

δε σημαίνει ότι ισχύει για κάθε $x\epsilon A$ ή για κάθε $x\epsilon A$

Κατά τη δική μου άποψη ήταν ένα ερώτημα που είχε ως κεντρική ιδέα την παραπάνω παρατήρηση και κάνει διαφορά ανάμεσα στους πολύ διαβασμένους, λεπτολόγους μαθητές που έχουν εμβαθύνει στα Μαθηματικά, με τους μαθητές που προσπερνούν τέτοιες περιπτώσεις πιο επιφανειακά και είναι λάτρεις της μεθοδολογίας, αλλά...

Ο αντίλογος βέβαια είναι ότι αν είσαι μαθητής για να το γράψεις και να το κατανοήσεις αυτό, πρέπει και κάποιος όχι μόνον να στο έχει διδάξει κατάλληλα, αλλά και να το έχεις κατανοήσει πλήρως και φυσικά αν δεν έχεις δει αυτή την παρατήρηση η ταπεινή μου άποψη είναι ότι δεν το γράφεις ποτέ, είναι αδύνατο να το σκεφθείς μόνος σου.

Αυτή είναι η μόνη μου (μικρή είναι η αλήθεια) ένσταση για το Δ3, δηλαδή ότι είναι ένα ερώτημα μαθηματικής γνώσης βέβαια, αλλά (συγχωρέστε με αν διαφωνούν κάποιοι από εσάς συνάδελφοι για τον παρακάτω χαρακτηρισμό) τεχνικής φύσης και δε διαχωρίζει αυτό το κάτι παραπάνω που έχει ένας μαθητής με έφεση στα Μαθηματικά απέναντι σε μια άγνωστη και πρωτότυπη άσκηση.

Κρίνει μόνον αν θυμάται ο υποψήφιος(εφόσον την έχει διδαχθεί διότι δεν την περιέχει το σχολικό βιβλίο), μια βασική βέβαια, διαφορά ανάμεσα στους αριθμούς και τις συναρτήσεις...

Καλό βράδυ, καλά αποτελέσματα σε όλους και καλή δύναμη στους διορθωτές!!!!
Για μια ακόμη φορά για τους μαθητές που μας παρακολουθούν, να κοιτάξουν μπροστά, διότι οι εξετάσεις δεν τελείωσαν ακόμη και ευκαιρίες υπάρχουν ακόμη!!!!

Υ.Γ. Εκπληκτική για μια ακόμη φορά η συζήτηση που έγινε για τα θέματα... Ας προτείνουμε του χρόνου να δωθούν τα θέματα εδώ στο

για να αξιολογηθούν από τους συναδέλφους το βράδυ της παραμονής των εξετάσεων.. Πιστεύω ότι δεν πρόκειται να ξεφύγει τίποτα!!!

Ιστοσελίδα · #176

(χμμμ κάτι δεν έκανα καλά και το προηγούμενο ποστ μου δεν εμφανίζεται)!

Ας πω κι εγώ τη γνώμη μου για τα θέματα:

Απλά μέσα από τις μεθοδολογίες των φροντιστηρίων!

Δε μπορώ να δω πώς και που διακρίνεται η "βαθιά" γνώση και κατανόηση των εννοιών!
Επίσης, δεν μπορώ να δω πώς θα ξεχωρίσει ο πολύ καλός από τον άριστο και ο μεθοδικός από τον παπαγάλο : " βλέπω αυτό κάνω εκείνο",
Συγκεκριμένα :

Γ1: μονοτονία -> βρίσκω παράγωγο
Γ2: εξίσωση που μοιάζει με τη συνάρτηση από πάνω που είναι μονότονη -> βρίσκω τι πρεπει να βάλω στην φ για να βγει το ζητούμενο
Γ3: σημεία καμπής -> δεύτερη παράγωγος
Γ4: -1 έως 1 -> περιττή συνάρτηση

Δ2. σταθερή συνάρτηση -> παράγωγος 0
Δ3. εύρεση συνάρτησης από σταθερή της σχέση τύπου τριωνύμου -> παίρνω διακρίνουσα ή παραγοντοποιώ (αφού πρώτα έχω πάρει διακρίνουσα στο πρόχειρο για να μη φαίνεται).
Δ4. ανίσωση -> ΘΜΤ ή μονοτονία

Κανένα λοιπόν από τα παραπάνω υποερωτήματα δε δίνει το επιπλέον κίνητρο σε κάποιο μαθητή να ξεφύγει από τη "μεθοδολογία", να αναπτύξει τη σκέψη του - τη λογική του, να υπάρχουν 3-4 μόρια τελικά που θα τα πάρει μόνο το 1-2% των εξεταζομένων που θα ξεχωρίσουν για τις υψηλότερης ζήτησης σχολές.
Επίσης το πρώτο θέμα έχει τελικά καταντήσει τελευταία να είναι πλήρως παπαγαλία! Οι υποψήφιοι της θεωρητικής κατεύθυνσης που έχουν συνηθίσει να μαθαίνουν απ' έξω, εύκολα θα έγραφαν το 25 με ΠΟΛΥ ΛΙΓΟ διάβασμα, αφού γι αυτούς η ύλη μετριέται σε σελίδες, οι οποίες εδώ είναι λίγες!

Φιλικά,

alkinoos · #177

smar έγραψε:
Θα μου πείτε και τότε γιατί γίνεται τόσος λόγος ; Μα γιατί κάποιοι έχουν μάθει μόνο να διορθώνουν και όχι να διορθώνονται. Το αλάθητο είναι δικό τους και του πάπα και όταν φυσικά εκτίθενται σε ένα τόσο πολυσύχναστο τόπικ που το παρακολουθούν μαθητές, φοιτητές, καθηγητές κτλ κτλ και έχουν φωνάξει κιόλας με bold γράμματα (είναι η τρίτη φορά που το επισημαίνω αυτό και μάλλον θα πρέπει να καταργηθούν τα μεγαλύτερα γράμματα), πώς να πούνε μετα ότι κάναν λάθος ;
Σιλουανός
Υ.Γ Θα ζητούσα από τους συντονιστές να μην διαγράψουν κάτι από τα παραπάνω. Θεωρώ ότι δεν προσβάλλω κανέναν και απλά κάνω κάποιες διαπιστώσεις που είναι εμφανείς (μιλάω για την τελευταία παράγραφο) και απλά δεν θέλω να κρυβόμαστε πίσω από το δάχτυλό μας.

Smar, αν αυτά τα γράφεις για τον κ. Κυριακόπουλο, θα σου έλεγα περισσότερο σεβασμό στους ανθρώπους που, κατά κοινή ομολογία, είτε το παραδέχεσαι είτε όχι, μας έχουν μάθει πολλά πράγματα στα μαθηματικά. Εξάλλου, δεν υπάρχει κάποιο λάθος σε αυτά που γράφει για το θέμα Δ3 και θα σου συνιστούσα να τα μελετήσεις περισσότερο. Πέρα όμως από αυτά, δεν μπορώ να καταλάβω από πού αντλείς αυτή την έπαρση και τον εγωισμό. Επειδή έχεις πάρει κάποιο μετάλλιο στις Ολυμπιάδες; Αυτό από μόνο του δεν αποδεικνύει τίποτα. Πάρε πρώτα το πτυχίο σου και μετά βλέπουμε.
Υ.Γ. Θα ζητούσα από τους συντονιστές να μην διαγράψουν κάτι από τα παραπάνω. Θεωρώ ότι δεν προσβάλλω κανέναν και απλά κάνω κάποιες διαπιστώσεις που είναι εμφανείς και απλά δεν θέλω να κρυβόμαστε πίσω από το δάχτυλό μας( με το ίδιο σκεπτικό δεν διαγράψατε αυτά που έγραψε ο smar)

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #178

Καλημέρα.
Θα έλεγα ότι οι προσωπικές αντιπαραθέσεις πρέπει να σταματήσουν γιατί δεν προσφέρουν τίποτα στο forum.
Υπάρχουν τα προσωπικά μηνύματα για να πούμε και να γράψουμε ότι θέλουμε.
Μικροί μεγάλοι έχουν κάθε δικαίωμα να γράφουν και να διατυπώνουν την άποψή τους, όπως θέλουν.
Με μεγάλα γράμματα, με έντονα, με χιούμορ, με απολυτότητα κ.λ.π.
Αλλά μέχρι εκεί.
Θωμάς

#179

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: • Για να γίνω περισσότερο κατανοητός, το αντίστοιχο σε μια δευτεροβάθμια εξίσωση: $\displaystyle{\alpha {x^2} + \beta x + + \gamma = 0}$ με $\displaystyle{\alpha \ne 0}$ και
$\displaystyle{\Delta = {\beta ^2} - 4\alpha \gamma \ge 0}$ ( στο σύνολο των πραγματικών αριθμών), θα ήταν:
$\displaystyle{\left( {\forall x \in R,\alpha {x^2} + \beta x + + \gamma = 0 = 0} \right) \Leftrightarrow \left[ {\forall x \in R,\left( {x = \frac{{ - \beta + \sqrt \Delta }}{{2a}}{\rm{ }}\dot \eta {\rm{ }}x = \frac{{ - \beta - \sqrt \Delta }}{{2a}}} \right)} \right]}$ ,
που είναι άτοπο.

Αγαπητέ Αντώνη, διαβάζοντας το παραπάνω, μου δημιουργείται ένα επιπλέον ερώτημα:
Γιατί είναι ΑΤΟΠΟ;
Η πρόταση: $\displaystyle{\left( {\forall x \in R,\alpha {x^2} + \beta x + + \gamma = 0 = 0} \right)$ για να είναι αληθής πρέπει και αρκεί α = β =γ = 0. Από υπόθεση $\alpha \ne 0$ , άρα είναι ψευδής.
Η άλλη πρόταση είναι προφανώς ψευδής, αφού δεν μπορεί να εκφραστεί κάθε αριθμός x σε μία από τις δύο μορφές(*), άρα εφόσον οι δύο προτάσεις είναι ψευδείς, η ισοδυναμία είναι αληθής.

(*) Διατηρώ μια επιφύλαξη για την τεκμηρίωση αυτής της πρότασης. Θα ήθελα τη γνώμη των ειδικών σχετικά μ' αυτό.

Γιώργος Ρίζος

edit: 12:51 έκανα μία μικρή λεκτική παρέμβαση ( $\alpha \ne 0$ )

Κώστας Μαλλιάκας · #180

chris έγραψε:κ.Κώστα απλά πατήστε αντιγραφή σε αυτά που γράφετε στο EqEditor και επικόληση πάνω στο χώρο που γράφετε τις απαντήσεις.Στη συνέχεια βάλτε το δολλάριο($-shift,4) στην αρχή και στο τέλος των αλγεβρικών παραστάσεων ώστε να εμφανιστούν τελικά σε μορφή Latex.

Και εγώ ψιλοάργησα να το μάθω

Ευχαριστώ πολύ...

ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Μέλη σε σύνδεση