Άνω φράγμα εμβαδού [Δ4]

#1

Φίλος μαθηματικός μού περιέγραψε από τηλεφώνου την Δευτέρα το μεσημέρι την εναλλακτική λύση για το κάτω φράγμα του εμβαδού στο Δ4 που δημοσιεύτηκε εδώ λίγες ώρες αργότερα: δεν κατάλαβα τι ακριβώς είχε κατά νου και κατέληξα έτσι σε άνω αντί κάτω φράγματος, αντί δηλαδή της ζητούμενης E>2e-3

στην $E<\dfrac{e^2-1}{2},$ η οποία νομίζω πως θα μπορούσε να είχε συμπεριληφθεί, ως ζητούμενο, στο Δ4 και προτείνεται τώρα εδώ.

BAGGP93 · #2

Στο $\left[1,e\right]$ έχουμε $0\leq \ln\,x\leq 1$ και συνεπώς $\ln^2\,x\leq \ln\,x$ με την ισότητα μόνο στα άκρα $x=1,\,x=e.$ Άρα,

$\displaystyle{\int_{1}^{e}e^{\ln^2\,x}\,dx<\int_{1}^{e}e^{\ln\,x}\,dx=\int_{1}^{e}x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{e}=\frac{e^2-1}{2}.}$

Dimessi · #3

Διαφορετικά, μπορείς να εκμεταλλευτείς την κυρτότητα της F και να κάνεις ένα ΘΜΤ στο [1,x] και ένα ΘΜΤ στο [x,e] για την F και θα βρεις F(x) μικρότερο του x στο (1,e) και στα άκρα ισότητα. Με ολοκλήρωση έχεις τελειώσει.

KARKAR · #4

: άνω φράγμα.png (144.68 KiB) Προβλήθηκε 2253 φορές

Άνω φράγμα εμβαδού [Δ4]

Άνω φράγμα εμβαδού [Δ4]

Re: Άνω φράγμα εμβαδού [Δ4]

Re: Άνω φράγμα εμβαδού [Δ4]

Re: Άνω φράγμα εμβαδού [Δ4]

Μέλη σε σύνδεση