Επαναληπτικές 2024

#1

εδώ
και
εδώ των ομογενών

#2

Γ4
Για $\displaystyle x \le - 1$ είναι κυρτή και η εφαπτομένη είναι η $\displaystyle y = 2x + 2$ , επομένως

$\displaystyle f(x) \ge 2x + 2 \Rightarrow f(\eta \mu x - 2) \ge 2(\eta \mu x - 2) + 2 = 2\eta \mu x - 2$

Christos.N · #3

Γεια σου Γιώργο, εσύ που έχεις καλύτερη επαφή από εμένα, οι ομογενείς για κάποια χρόνια δεν γράφανε μαζί με τους υπόλοιπους στις επαναληπτικές;

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Aς δούμε το 3ο θέμα των Επαναληπτικών που είναι και το 4ο των Ομογενών.

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση

με

$\displaystyle{f\left ( x \right ) =\begin{cases} e^{x+1}+\lambda x, x< -1 \right ] \\\displaystyle\frac{ax+a}{x+a} , x\ge -1 \end{cases}}$

όπου a>1

και $\lambda\in \mathrm{R}.$

1. Να αποδείξετε ότι $\lambda=1.$

MONAΔΕΣ 5

2. Να αποδείξετε ότι a=2

(μονάδες 5) και στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης
της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

στο σημείο $A\left( -1,0 \right)$ (μονάδες 3).

MONAΔΕΣ 8

3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

MONAΔΕΣ 7

4. Να αποδείξετε ότι:

$f\left( \eta\mu x-2 \right)\ge 2\eta\mu x-2,$ για κάθε $x \in \mathrm{R}.$

MONAΔΕΣ 5

ΛΥΣΗ

1. Aφού η

είναι παραγωγίσιμη σε όλo σύνολο των πραγματικών αριθμών,
είναι σίγουρα συνεχής στο $x_{0}=-1.$ Άρα ισχύει ότι
$\displaystyle \lim_{x \to -1^{-}} f(x)=f(-1)\Leftrightarrow \lim_{x \to -1^{-}} (e^{x+1}+\lambda x)=\frac{a(-1)+a}{-1+a}\Leftrightarrow e^{0}-\lambda=0\Leftrightarrow 1-\lambda=0\Leftrightarrow \lambda=1$

2. H

είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}=-1.$
Η δεξιά πλευρική παράγωγος της

στο σημείο αυτό είναι ίση με
$\displaystyle \lim_{x \to -1^{+}}\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\lim_{x \to -1^{+}}\frac{ax+a}{(x+1)(x+a)}=$
$\displaystyle \lim_{x \to -1^{+}}\frac{a(x+1)}{(x+1)(x+a)} =\lim_{x \to -1^{+}}\frac{a}{x+a}=\frac{a}{a-1}$
Η αριστερή πλευρική παράγωγος της

στο σημείο αυτό είναι ίση με
$\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}}\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\lim_{x \to -1^{-}}\frac{e^{x+1}+x}{x+1}=\lim_{x \to -1^{-}}(e^{x+1}+1)=e^{0}+1=1+1=2$

Συνεπώς
$\displaystyle \frac{a}{a-1}=2\Leftrightarrow a=2$

H εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

στο σημείο $A\left( -1,0 \right)$
$y-f(-1)=f'(-1)(x+1)\Leftrightarrow y-0=2(x+1)\Leftrightarrow y=2x+2$

3. H γραφική παράσταση της

δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες αφού η

είναι συνεχής
σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Ας δούμε αν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο $-\infty.$

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty }\frac{f(x)}{x} =\lim_{x \to -\infty }\frac{e^{x+1}+x}{x}=\lim_{x \to -\infty }\left( \frac{e^{x+1}}{x}+1 \right)=\lim_{x \to -\infty }\left( \frac{1}{x}\cdot e^{x+1}+1\right)=0\cdot 0+1=1$

και $\displaystyle \lim_{x \to -\infty } \left[ f\left( x \right)-x \right]=\lim_{x \to -\infty }e^{x+1}=0.$

Συνεπώς η ευθεία με εξίσωση y=x

είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

στο $-\infty.$

Επειδή $\displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x)=\lim_{x \to +\infty }\frac{2x+2}{x+2}=2$ η ευθεία με εξίσωση y=2

είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

στο $+\infty.$

4. Εύκολα κάποιος μπορεί να αποδείξει ότι η

είναι κυρτή στο $( -\infty ,-1 ]$

Πράγματι, ισχύει ότι

$f''\left( x \right)=e^{x+1} >0$ για κάθε $x\in\left( -\infty ,-1 \right) .$

Eπίσης ισχύει για κάθε πραγματικό

ότι $-1\le \eta\mu x\le 1 \Leftrightarrow -3\le \eta\mu x-2\le -1.$

Συνεπώς μπορεί να γραφεί ότι για κάθε $x \in \mathrm{R}$

$f\left( \eta\mu x-2 \right)\ge 2\left( \eta\mu x-2 \right)+2\Leftrightarrow f\left( \eta\mu x-2 \right)\ge 2\eta\mu x-2.$

Θα παρακαλούσα κάποιον να σχεδιάσει τη γραφική παράσταση της και την ευθεία

#5

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Απρ 21, 2025 4:27 pm
Aς δούμε το 3ο θέμα των Επαναληπτικών που είναι και το 4ο των Ομογενών.

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση με

$\displaystyle{f\left ( x \right ) =\begin{cases} e^{x+1}+\lambda x, x< -1 \right ] \\\displaystyle\frac{ax+a}{x+a} , x\ge -1 \end{cases}}$

όπου και $\lambda\in \mathrm{R}.$

1. Να αποδείξετε ότι $\lambda=1.$

MONAΔΕΣ 5

2. Να αποδείξετε ότι (μονάδες 5) και στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης
της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο $A\left( -1,0 \right)$ (μονάδες 3).

MONAΔΕΣ 8

3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

MONAΔΕΣ 7

4. Να αποδείξετε ότι:

$f\left( \eta\mu x-2 \right)\ge 2\eta\mu x-2,$ για κάθε $x \in \mathrm{R}.$

MONAΔΕΣ 5

ΛΥΣΗ

1. Aφού η είναι παραγωγίσιμη σε όλo σύνολο των πραγματικών αριθμών,
είναι σίγουρα συνεχής στο $x_{0}=-1.$ Άρα ισχύει ότι
$\displaystyle \lim_{x \to -1^{-}} f(x)=f(-1)\Leftrightarrow \lim_{x \to -1^{-}} (e^{x+1}+\lambda x)=\frac{a(-1)+a}{-1+a}\Leftrightarrow e^{0}-\lambda=0\Leftrightarrow 1-\lambda=0\Leftrightarrow \lambda=1$

2. H είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}=-1.$
Η δεξιά πλευρική παράγωγος της στο σημείο αυτό είναι ίση με
$\displaystyle \lim_{x \to -1^{+}}\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\lim_{x \to -1^{+}}\frac{ax+a}{(x+1)(x+a)}=$
$\displaystyle \lim_{x \to -1^{+}}\frac{a(x+1)}{(x+1)(x+a)} =\lim_{x \to -1^{+}}\frac{a}{x+a}=\frac{a}{a-1}$
Η αριστερή πλευρική παράγωγος της στο σημείο αυτό είναι ίση με
$\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}}\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\lim_{x \to -1^{-}}\frac{e^{x+1}+x}{x+1}=\lim_{x \to -1^{-}}(e^{x+1}+1)=e^{0}+1=1+1=2$

Συνεπώς
$\displaystyle \frac{a}{a-1}=2\Leftrightarrow a=2$

H εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο $A\left( -1,0 \right)$
$y-f(-1)=f'(-1)(x+1)\Leftrightarrow y-0=2(x+1)\Leftrightarrow y=2x+2$

3. H γραφική παράσταση της δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες αφού η είναι συνεχής
σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Ας δούμε αν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο $-\infty.$

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty }\frac{f(x)}{x} =\lim_{x \to -\infty }\frac{e^{x+1}+x}{x}=\lim_{x \to -\infty }\left( \frac{e^{x+1}}{x}+1 \right)=\lim_{x \to -\infty }\left( \frac{1}{x}\cdot e^{x+1}+1\right)=0\cdot 0+1=1$

και $\displaystyle \lim_{x \to -\infty } \left[ f\left( x \right)-x \right]=\lim_{x \to -\infty }e^{x+1}=0.$

Συνεπώς η ευθεία με εξίσωση είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο $-\infty.$

Επειδή $\displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x)=\lim_{x \to +\infty }\frac{2x+2}{x+2}=2$ η ευθεία με εξίσωση

είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο $+\infty.$

4. Εύκολα κάποιος μπορεί να αποδείξει ότι η είναι κυρτή στο $( -\infty ,-1 ]$

Πράγματι, ισχύει ότι

$f''\left( x \right)=e^{x+1} >0$ για κάθε $x\in\left( -\infty ,-1 \right) .$

Eπίσης ισχύει για κάθε πραγματικό ότι $-1\le \eta\mu x\le 1 \Leftrightarrow -3\le \eta\mu x-2\le -1.$

Συνεπώς μπορεί να γραφεί ότι για κάθε $x \in \mathrm{R}$

$f\left( \eta\mu x-2 \right)\ge 2\left( \eta\mu x-2 \right)+2\Leftrightarrow f\left( \eta\mu x-2 \right)\ge 2\eta\mu x-2.$

Θα παρακαλούσα κάποιον να σχεδιάσει τη γραφική παράσταση της και την ευθεία

: Επαναληπτικές 2024.png (21.45 KiB) Προβλήθηκε 1817 φορές

Επαναληπτικές 2024

Επαναληπτικές 2024

Re: Επαναληπτικές 2024

Re: Επαναληπτικές 2024

Re: Επαναληπτικές 2024

Re: Επαναληπτικές 2024

Μέλη σε σύνδεση