Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Σωτήριος Τερζόπουλος · #161

cretanman έγραψε:
Σωτήριος Τερζόπουλος έγραψε: Η είναι κυρτή. Άρα δεν υπάρχουν παράλληλες εφαπτομένες σε οποιαδήποτε σημεία, σωστά ;
Εκτός αν είναι σε ίδια σημεία και οι εφαπτόμενες ταυτίζονται.

Σωτήριος Τερζόπουλος έγραψε: Άρα δεν υπάρχουν $\xi_1, \xi_2$ (σε οποιαδήποτε διαστήματα), τέτοια ώστε $f'(\xi_1) = f'(\xi_2)$ με $\xi_1$ διαφορετικό του $\xi_2$ .
Σωστά! Αλλά πως εξασφαλίζεις ότι τα $\xi_1, \xi_2$ που παίρνεις είναι διαφορετικά αν τα διαστήματα είναι οποιαδήποτε; (Αν τα διαστήματα αλληλοεπικαλύπτονται μπορεί τα $\xi_1, \xi_2$ να ταυτίζονται κάτι που ΔΕ θέλεις για να μπορείς να καταλήξεις σε άτοπο).

Αλέξανδρος

Ακριβώς !
Γι αυτό λέω, γραφικά σκεπτόμενος, οτι δεν υπαρχουν διαφορετικά $\xi_1, \xi_2$ που να δίνουν $f'(\xi_1) = f'(\xi_2)$ .

Και με ρώτησαν 2-3 άριστοι μαθητές ( και ρώτησα κι εγώ μετά τον ευατό μου.. ), αν μπορούν να υποθέσουν κάτι που δεν ισχύει, για να καταλήξουν στο ότι δεν ισχυει!
Εκεί βρίσκεται κι ο λόγος που έγραψα το σχόλιο.

#162

Σωτήριος Τερζόπουλος έγραψε:...Οπότε, στέκει να πάω με 2 θμτ για να καταλήξω σε άτοπο, ξεκινώντας από κάτι που σίγουρα δεν ισχύει

Καλησπέρα. Μολις άνοιξα τον υπολογιστή μου μετά από μια κουραστική ημέρα εξετάσεως φυσικώς αδύνατων μαθητών.
Μήπως θα μπορούσατε να γίνετε πιο σαφής;
Ποιός θα ήταν ο ισχυρισμός που θα ξεκινούσατε;

athbol · #163

Καλησπέρα παιδιά. θα ήθελα να με βοηθήσετε σχετικά με το που κυμαίνομαι στην βαθμολογία
Καταρχάς στο β3 βρήκα μόνο την ασύμπτωτη στο μείον άπειρο λέγοντας οτι η ευθεία y=1

είναι η μοναδική ασύμπωτη. Δεν έδειξα οτι ειναι και στο σύν άπειρο επειδή η διαδικασία είναι ίδια.
Στο γ2 έθεσα συναρτηση f(x)

εδειξα οτι δν μηδενίζεται για $x\neq 0$ και οτι διατηρεί σταθ πρόσημο. Οπότε για x> 0

ο τύπος είναι όπως αυτός στο γ1 ερώτημα και έκανα το ιδιο για x< 0

οπότε έβγαλα τον ίδιο τύπο ξανά.
στο γ4 πήρα την βασικη σχέση $\left |sin \right |\leq \left |x \right |$ και επειδή δουλέυω για x> 0

έβγαλα το απόλυτο απ το δεύτερο μέλος και μετά πέρασα μονοτονία της f(x)

για να δημιουργήσω τις σχέσεις που μου δίνει. Το ίδιο έκανα και για το x+3

οπότε έφτιαξα 2 ανισώσεις. Μετά όμως τ λαθος είναι οτι τις αφαίρεσα και είπα οτι η ισότητα ισχύει για x= 0

και επειδή f(x)

γνησίως αύξουσα θα είναι μοναδική.
Στο Δ1 το f'(0)

το βρήκα κάνοντας delhopital στο όριο που μου δίνεται σαν δεδομένο επειδή f(x)

2 φορές παρ/μη και συνεχής. Είναι σωστό;
Τέλος στο Δ4 είπα $1<x<\pi$ πέρασα lnx

μονοτονία της

μετά ολοκλήρωμα και το βρήκα . Θα χάσω κατι;

Θα ήθελα να μου πείτε απο τα παραπάνω πόσα μόρια χάνω στην χειρότερη περίπτωση

Λάμπρος Μπαλός · #164

Κάποιες σκέψεις πάνω στο Δ Θέμα. Δεν προσφέρουν κάτι βέβαια οπότε κάλλιστα θα μπορούσατε να τις παραβλέψετε..

Η γνησίως αύξουσα

έχει $f((- \infty,0])=(- \infty,0]$ , αυτό είναι εύκολο. Σε εκείνο ειδικώς το διάστημα έχει βεβαίως αντίστροφη $f^{-1}$ , με $f^{-1}(- \infty , 0] =(- \infty , 0]$

Στη συναρτησιακή που δίνει, αν δουλέψουμε για κάθε $x \leq 0$ και θέσουμε όπου

το $f^{-1}(x)$ θα πάρουμε την :

$e^{x}+f^{-1}(x)=f(x)+e^{f^{-1}(x)}$ .

Από αυτές τις δύο τώρα προκύπτει η σχέση $e^{f(x)}+x-f(f(x))=f(x)+e^{f^{-1}(x)}-f^{-1}(x)$ που μετατρέπεται στην

$f(x)+f(f(x))-e^{f(x)}=f^{-1}(x)+x-e^{f^{-1}(x)}$ και θεωρώντας της $g(x)=x+f(x)-e^{x}$ στο $(- \infty,0]$ η οποία είναι γνησίως αύξουσα ως άθροισμα των γνησίως αυξουσών συναρτήσεων f(x)

και $x-e^{x}$ .

Η παραπάνω σχέση είναι βεβαίως $g(f(x))=g(f^{-1}(x)) \Leftrightarrow f(x)=f^{-1}(x) \Leftrightarrow f(x)=x$ , στο $(- \infty,0]$ όλα αυτά.

Ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος.

Irakleidis · #165

Μια παιδαγωγική παρατήρηση στο θέμα Β

Η ζητούμενη γραφική παράσταση στριμώχνεται στο διάστημα [0, 1)
με αποτέλεσμα κάποιοι μαθητές να είχαν πρόβλημα στην επιτυχή διαπραγμάτευση του. Αν όμως δίναμε από την αρχή την συνάρτηση 2f(x) δηλαδή ο τύπος να είχε ένα δυαράκι στον αριθμητή, τότε οι πράξεις απλοποιούνται χωρίς να έχουμε αλλαγή στα ζητούμενα. Η γραφική παράσταση θα είχε τότε οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y=2 και σημεία καμπής στα σημεία με τετμημένες -1 και 1 αποφεύγοντας έτσι ριζικά. Επιπλέον με ανεβασμένη την ψυχολογία οι μαθητές θα είχαν περισσότερο χρόνο για την διαπραγμάτευση των υπολοίπων θεμάτων.

Λάμπρος Μπαλός · #166

Irakleidis έγραψε:Μια παιδαγωγική παρατήρηση στο θέμα Β

Η ζητούμενη γραφική παράσταση στριμώχνεται στο διάστημα [0, 1)
με αποτέλεσμα κάποιοι μαθητές να είχαν πρόβλημα στην επιτυχή διαπραγμάτευση του. Αν όμως δίναμε από την αρχή την συνάρτηση 2f(x) δηλαδή ο τύπος να είχε ένα δυαράκι στον αριθμητή, τότε οι πράξεις απλοποιούνται χωρίς να έχουμε αλλαγή στα ζητούμενα. Η γραφική παράσταση θα είχε τότε οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y=2 και σημεία καμπής στα σημεία με τετμημένες -1 και 1 αποφεύγοντας έτσι ριζικά. Επιπλέον με ανεβασμένη την ψυχολογία οι μαθητές θα είχαν περισσότερο χρόνο για την διαπραγμάτευση των υπολοίπων θεμάτων.

Νομίζω πως δεν αποφεύγονται οι ρίζες, αλλά γιατί να πρέπει να αποφευχθούν;

#167

Irakleidis έγραψε:Μια παιδαγωγική παρατήρηση στο θέμα Β

Η ζητούμενη γραφική παράσταση στριμώχνεται στο διάστημα [0, 1)
με αποτέλεσμα κάποιοι μαθητές να είχαν πρόβλημα στην επιτυχή διαπραγμάτευση του. Αν όμως δίναμε από την αρχή την συνάρτηση 2f(x) δηλαδή ο τύπος να είχε ένα δυαράκι στον αριθμητή, τότε οι πράξεις απλοποιούνται χωρίς να έχουμε αλλαγή στα ζητούμενα. Η γραφική παράσταση θα είχε τότε οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y=2 και σημεία καμπής στα σημεία με τετμημένες -1 και 1 αποφεύγοντας έτσι ριζικά. Επιπλέον με ανεβασμένη την ψυχολογία οι μαθητές θα είχαν περισσότερο χρόνο για την διαπραγμάτευση των υπολοίπων θεμάτων.

Τα μόνα που αλλάζουν είναι οι τεταγμένες των σημείων. Οι τετμημένες παραμένουν ίδιες και δεν τίθεται θέμα στριμώγματος. Μπορεί απλώς ν' αλλάξει η κλίμακα.

tsakalanapaka · #168

Καλησπέρα

Ερώτηση προς βαθμολογητές κυρίως, αλλά και προς πάσα κατεύθυνση.

Υπάρχει περίπτωση (όπως ακούγεται) να κόβονται μόρια από το Β Θέμα (Β1, Β2) για την αιτιολόγηση του προσήμου της 1ης και της 2ης παραγώγου

#169

tsakalanapaka έγραψε:Καλησπέρα

Ερώτηση προς βαθμολογητές κυρίως, αλλά και προς πάσα κατεύθυνση.

Υπάρχει περίπτωση (όπως ακούγεται) να κόβονται μόρια από το Β Θέμα (Β1, Β2) για την αιτιολόγηση του προσήμου της 1ης και της 2ης παραγώγου

Καλύτερα να κλείνετε τα αυτιά σας σε τέτοιες ανυπόστατες φήμες, που μόνο βαθμολογική τρομοκρατία , αποστροφή και απομάκρυνση των μαθητών από τα

μαθηματικά δημιουργούν !

Τέτοιες ''ειδήσεις '' είναι προσβολή για τους βαθμολογητές και για αυτό όχι μόνο να τις αγνοείτε παντελώς, αλλά και να τις καταπολεμάτε, όταν τις ακούτε.

Μπ

tsakalanapaka · #170

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
tsakalanapaka έγραψε:Καλησπέρα

Ερώτηση προς βαθμολογητές κυρίως, αλλά και προς πάσα κατεύθυνση.

Υπάρχει περίπτωση (όπως ακούγεται) να κόβονται μόρια από το Β Θέμα (Β1, Β2) για την αιτιολόγηση του προσήμου της 1ης και της 2ης παραγώγου
Καλύτερα να κλείνετε τα αυτιά σας σε τέτοιες ανυπόστατες φήμες, που μόνο βαθμολογική τρομοκρατία , αποστροφή και απομάκρυνση των μαθητών από τα

μαθηματικά δημιουργούν !

Τέτοιες ''ειδήσεις '' είναι προσβολή για τους βαθμολογητές και για αυτό όχι μόνο να τις αγνοείτε παντελώς, αλλά και να τις καταπολεμάτε, όταν τις ακούτε.

Μπ

Πολύ χαίρομαι που το ακούω συναδελφε

#171

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Κάποιες σκέψεις πάνω στο Δ Θέμα. Δεν προσφέρουν κάτι βέβαια οπότε κάλλιστα θα μπορούσατε να τις παραβλέψετε..

Η γνησίως αύξουσα έχει $f((- \infty,0])=(- \infty,0]$ , αυτό είναι εύκολο. Σε εκείνο ειδικώς το διάστημα έχει βεβαίως αντίστροφη $f^{-1}$ , με $f^{-1}(- \infty , 0] =(- \infty , 0]$

Στη συναρτησιακή που δίνει, αν δουλέψουμε για κάθε $x \leq 0$ και θέσουμε όπου το $f^{-1}(x)$ θα πάρουμε την :

$e^{x}+f^{-1}(x)=f(x)+e^{f^{-1}(x)}$ .

Από αυτές τις δύο τώρα προκύπτει η σχέση $e^{f(x)}+x-f(f(x))=f(x)+e^{f^{-1}(x)}-f^{-1}(x)$ που μετατρέπεται στην

$f(x)+f(f(x))-e^{f(x)}=f^{-1}(x)+x-e^{f^{-1}(x)}$ και θεωρώντας της $g(x)=x+f(x)-e^{x}$ στο $(- \infty,0]$ η οποία είναι γνησίως αύξουσα ως άθροισμα των γνησίως αυξουσών συναρτήσεων και $x-e^{x}$ .

Η παραπάνω σχέση είναι βεβαίως $g(f(x))=g(f^{-1}(x)) \Leftrightarrow f(x)=f^{-1}(x) \Leftrightarrow f(x)=x$ , στο $(- \infty,0]$ όλα αυτά.

Ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος.

Κοίταξα δύο φορές τον αξιοπρόσεκτο συλλογισμό του Λάμπρου και δεν βρήκα κάποιο λάθος.
Πάντα με την επιφύλαξη της ζαλάδας του βαθμολογικού.
Μαυρογιάννης

#172

Βασίλης Καλαμάτας έγραψε:Μια μεταμεσονύκτια απόπειρα προσέγγισης του τύπου της συνάρτησης του Δ θέματος για την οποία θεωρώ γνωστό ότι είναι γνήσια αύξουσα, με και τη σχέση που ισχύει $f(f(x))=e^{f(x)}+x-e^{x}$ (1).

Θεωρώ $g(x)=e^{x}-x$ , τότε $g'(x)=e^{x}-1<0$ για άρα είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $(-\propto ,0]$ .

1. Έστω ότι υπάρχει με , τότε ,
άρα $g(f(x))>g(x)\Rightarrow e^{f(x)}-f(x)>e^{x}-x\Rightarrow e^{f(x)}-e^{x}+x>f(x)\Rightarrow$
$\Rightarrow f(f(x))>f(x)\Rightarrow f(x)>x$ άτοπο.

2. Έστω ότι υπάρχει με , τότε $x<0\Rightarrow f(x)<0$ ,
άρα $g(f(x))<g(x)\Rightarrow e^{f(x)}-f(x)<e^{x}-x\Rightarrow e^{f(x)}-e^{x}+x<f(x)\Rightarrow$
$\Rightarrow f(f(x))<f(x)\Rightarrow f(x)<x$ άτοπο.

Άρα για ισχύει .

Η ίδια μέθοδος δε λειτουργεί και για . Επειδή ο χρόνος αυτές τις μέρες είναι περιορισμένος και το μυαλό πολύ ταλαιπωρημένο, παρακαλώ τους συναδέλφους να ελέγξουν τις παραπάνω σκέψεις. Αν δεν έχουν κάποιο λάθος, θα το ξανακοιτάξω μήπως καταφέρω να το συμπληρώσω όταν βρω χρόνο!
Καλά αποτελέσματα σε όλους!!!

Είχε αναφέρει και ο Βασίλης αντίστοιχο συλλογισμό χθες για $x\leq 0$ στην προηγούμενη σελίδα οι οποίοι είναι εξίσου μία χαρά!

Αλέξανδρος

Stateofmind · #173

Θα μπορούσε κάποιος βαθμολογητής με την πρώτη ευκαιρία να μου στείλει κάποια στοιχεία από το β.κ; Γνωρίζω ότι δεν έχει τη παραμικρή σημασία για την ώρα αλλά με τρώει η περιέργεια...

knkn · #174

rek2 έγραψε:
cranias έγραψε:Καλησπέρα σχετικά με το ερώτημα Δ3 ένας μαθητής έδωσε την παρακάτω λύση:
Διαίρεσε αριθμητή και παρονομαστή με το χ. Στη συνέχεια έκανε Θ.Μ.Τ για την f στο [0,χ] και βρήκε ξ: f'(ξ)=(f(x)-f(0))/x=f(x)/x. Μετά αντικατέστησε στον παρονομαστή του κλάσματος τον αριθμό f'(ξ) ο οποίος είναι διάφορος του μηδενός από προηγούμενο ερώτημα. Στο τέλος δείχνει πως ο αριθμητής έχει όριο το μηδέν με Κ.Π. οπότε συνολικά και το όριο είναι μηδέν.
Είναι σωστή αυτή η λύση;
Είναι λάθος λύση.

Πόσα μόρια θα δίνατε σε αυτή τη λύση ;

knkn · #175

cretanman έγραψε:Εναλλακτικός τρόπος για το Γ4

Θα δείξουμε ότι η είναι μοναδική λύση της εξίσωσης.

Υποθέτουμε λοιπόν, αντίθετα, ότι υπάρxει που να είναι λύση της εξίσωσης. Ισxύει $|\eta\mu x_0|<x_0$ (από τη γνωστή ανισότητα $|\eta\mu x|\leq |x|$ με ισότητα μόνο για ) καθώς επίσης $|\eta\mu x_0|< |\eta\mu x_0|+3$ και .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $|\eta\mu x_0|+3<x_0$ τότε $|\eta\mu x_0|< |\eta\mu x_0|+3<x_0<x_0+3$ και επειδή ισxύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left[|\eta\mu x_0|, |\eta\mu x_0|+3\right], \ \left[x_0,x_0+3\right]$ άρα υπάρxουν $\xi_1 \in \left(|\eta\mu x_0|, |\eta\mu x_0|+3\right) , \ \xi_2 \in \left(x_0,x_0+3\right)$ ώστε η εξίσωση να γράφεται:

$3f'(\xi_1)=3f'(\xi_2)$ απ΄όπου $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και κι έτσι παίρνουμε $\xi_1=\xi_2$ , πράγμα άτοπο αφού τα $\xi_1, \xi_2$ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

$\bullet$ Αν $x_0\leq |\eta\mu x_0|+3$ τότε $|\eta\mu x_0|<x_0\leq |\eta\mu x_0|+3<x_0+3$ .

Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή: $f(x_0)-f\left(|\eta\mu x_0|\right)=f(x_0+3)-f\left(|\eta\mu x_0|+3\right)$

Επειδή ισxύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left[|\eta\mu x_0|, x_0\right], \ \left[|\eta\mu x_0|+3, x_0+3\right]$ άρα υπάρxουν $\xi_1 \in \left(|\eta\mu x_0|, x_0) , \ \xi_2 \in \left(|\eta\mu x_0|+3, x_0+3\right)$ ώστε η εξίσωση να γράφεται:

$(x_0-|\eta\mu x_0|)f'(\xi_1)=(x_0-|\eta\mu x_0|)f'(\xi_2)$ και αφού $x_0-|\eta\mu x_0|\neq 0$ άρα $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και , κι έτσι παίρνουμε $\xi_1=\xi_2$ , πράγμα άτοπο αφού τα $\xi_1, \xi_2$ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

Πόσα μόρια θα πάρει ο μαθητής που θεώρησε '' δεδομένο ,, οτι υπάρχει μόνο η πρώτη περίπτωση ;

Irakleidis · #176

george visvikis έγραψε:
Irakleidis έγραψε:Μια παιδαγωγική παρατήρηση στο θέμα Β

Η ζητούμενη γραφική παράσταση στριμώχνεται στο διάστημα [0, 1)
με αποτέλεσμα κάποιοι μαθητές να είχαν πρόβλημα στην επιτυχή διαπραγμάτευση του. Αν όμως δίναμε από την αρχή την συνάρτηση 2f(x) δηλαδή ο τύπος να είχε ένα δυαράκι στον αριθμητή, τότε οι πράξεις απλοποιούνται χωρίς να έχουμε αλλαγή στα ζητούμενα. Η γραφική παράσταση θα είχε τότε οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y=2 και σημεία καμπής στα σημεία με τετμημένες -1 και 1 αποφεύγοντας έτσι ριζικά. Επιπλέον με ανεβασμένη την ψυχολογία οι μαθητές θα είχαν περισσότερο χρόνο για την διαπραγμάτευση των υπολοίπων θεμάτων.
Τα μόνα που αλλάζουν είναι οι τεταγμένες των σημείων. Οι τετμημένες παραμένουν ίδιες και δεν τίθεται θέμα στριμώγματος. Μπορεί απλώς ν' αλλάξει η κλίμακα.

Έχεις δίκιο συνάδελφε (εμπιστεύτηκα ένα βουλγαρικό βιβλίο χωρίς να το ελέγξω ο ίδιος). Στο γράφημα της συνάρτησης 2f(x) δεν αλλάζουν μονοτονία και κυρτά-κοίλα σε σχέση με το γράφημα της f(x) παρά μόνο έχουμε διπλασιασμό σ' όλες τις τιμές άρα και σ' αυτές των ακροτάτων και σημείων καμπής. Ουσιαστικά έχουμε αλλαγή κλίμακας.
Μήπως ξέρει κανείς πως μπορεί να περιγράψει γενικότερα το γράφημα της cf(x) σε σχέση με το γράφημα της f(x) για c>0 και για c<0 ;

ξιμ · #177

Καλησπέρα και συγχαρητήρια για την καταπληκτική δουλειά που κάνετε όλα αυτά τα χρόνια.
Επισυνάπτω το ακόλουθο pdf όπου έχω μια λύση για το Γ.4 με Θ.Μ.Τ αλλά και τη γνώμη μου για την κατανομή μορίων.

Μόρια (Προσωπική Άποψη):
• 1 για την προφανή ρίζα.
• 3+3 για τις δύο περιπτώσεις διαμέρισης.
• 2 χρήση μονοτονίας της παραγώγου από κυρτότητα για την απόδειξη ανισοτήτων.

Θεωρώ δύσκολη αυτή την αντιμετώπιση και από τους καλά διαβασμένους που σκέφτηκαν πιο γενικά την Ανάλυση (ΘΜΤ) και όχι τεχνικά με την θεώρηση συνάρτησης. Οπότε για τους υποψήφιους που κάναν ΘΜΤ θέλω να τους φαντάζομαι βαθμολογικά κοντά στους υποψήφιους που κάναν θεώρηση και σε καμία περίπτωση κοντά σε αυτούς που δεν έκανα καθόλου το Γ.4 ή απλά είπαν ρίζα χ=0.

Γ4.pdf: Γ4_2016_ΘΜΤ; (170.33 KiB) Μεταφορτώθηκε 279 φορές

Δ.Κ

#178

Irakleidis έγραψε:Μια παιδαγωγική παρατήρηση στο θέμα Β

Η ζητούμενη γραφική παράσταση στριμώχνεται στο διάστημα [0, 1)
με αποτέλεσμα κάποιοι μαθητές να είχαν πρόβλημα στην επιτυχή διαπραγμάτευση του. Αν όμως δίναμε από την αρχή την συνάρτηση 2f(x) δηλαδή ο τύπος να είχε ένα δυαράκι στον αριθμητή, τότε οι πράξεις απλοποιούνται χωρίς να έχουμε αλλαγή στα ζητούμενα. Η γραφική παράσταση θα είχε τότε οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y=2 και σημεία καμπής στα σημεία με τετμημένες -1 και 1 αποφεύγοντας έτσι ριζικά. Επιπλέον με ανεβασμένη την ψυχολογία οι μαθητές θα είχαν περισσότερο χρόνο για την διαπραγμάτευση των υπολοίπων θεμάτων.

Με λίγη περισσότερη επιμονή στην ΚΕΕ, η συνάρτηση (αν δεν έκανα κάποιο βιαστικό λάθος) θα μπορούσε δοθεί ως :

$\displaystyle f(x)=\frac {4x^2}{x^2+3}$

που δίνει ΣΚ τα (-1,1),(1,1)

και ασύμπτωτη την y=4

. Και έτσι όμως δεν είναι άσχημα,μια και δεν έχουμε πολύ δύσκολα νούμερα.

Μπ

tzkostas · #179

ξιμ έγραψε:Καλησπέρα και συγχαρητήρια για την καταπληκτική δουλειά που κάνετε όλα αυτά τα χρόνια.
Επισυνάπτω το ακόλουθο pdf όπου έχω μια λύση για το Γ.4 με Θ.Μ.Τ αλλά και τη γνώμη μου για την κατανομή μορίων.

Μόρια (Προσωπική Άποψη):
• 1 για την προφανή ρίζα.
• 3+3 για τις δύο περιπτώσεις διαμέρισης.
• 2 χρήση μονοτονίας της παραγώγου από κυρτότητα για την απόδειξη ανισοτήτων.

Θεωρώ δύσκολη αυτή την αντιμετώπιση και από τους καλά διαβασμένους που σκέφτηκαν πιο γενικά την Ανάλυση (ΘΜΤ) και όχι τεχνικά με την θεώρηση συνάρτησης. Οπότε για τους υποψήφιους που κάναν ΘΜΤ θέλω να τους φαντάζομαι βαθμολογικά κοντά στους υποψήφιους που κάναν θεώρηση και σε καμία περίπτωση κοντά σε αυτούς που δεν έκανα καθόλου το Γ.4 ή απλά είπαν ρίζα χ=0.
Γ4.pdf
Δ.Κ

Να ξερετε πως μολις μου ανεβασατε την ψυχολογια με αυτο που ειπατε

.Παντως εχω μια απορια σχετικα με την βαθμολογηση των γραπτων.Οι βαθμολογητες πως ακριβως βαθμολογουν? Για παραδειγμα την λυση αυτη(με τα 2 ΘΜΤ) την γνωριζουν ολοι?

Irakleidis · #180

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Irakleidis έγραψε:Μια παιδαγωγική παρατήρηση στο θέμα Β

Η ζητούμενη γραφική παράσταση στριμώχνεται στο διάστημα [0, 1)
με αποτέλεσμα κάποιοι μαθητές να είχαν πρόβλημα στην επιτυχή διαπραγμάτευση του. Αν όμως δίναμε από την αρχή την συνάρτηση 2f(x) δηλαδή ο τύπος να είχε ένα δυαράκι στον αριθμητή, τότε οι πράξεις απλοποιούνται χωρίς να έχουμε αλλαγή στα ζητούμενα. Η γραφική παράσταση θα είχε τότε οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y=2 και σημεία καμπής στα σημεία με τετμημένες -1 και 1 αποφεύγοντας έτσι ριζικά. Επιπλέον με ανεβασμένη την ψυχολογία οι μαθητές θα είχαν περισσότερο χρόνο για την διαπραγμάτευση των υπολοίπων θεμάτων.
Με λίγη περισσότερη επιμονή στην ΚΕΕ, η συνάρτηση (αν δεν έκανα κάποιο βιαστικό λάθος) θα μπορούσε δοθεί ως :

$\displaystyle f(x)=\frac {4x^2}{x^2+3}$

που δίνει ΣΚ τα και ασύμπτωτη την . Και έτσι όμως δεν είναι άσχημα,μια και δεν έχουμε πολύ δύσκολα νούμερα.
Μπ

Πολύ σωστά συνάδελφε και συγχαρητήρια για την πετυχημένη ανακατασκευή σου! Αν δινόταν η συνάρτηση που βρήκες, οι μαθητές θα είχαν τότε περισσότερη άνεση να σχεδιάσουν το γράφημα χωρίς να το στριμώξουν στο [0, 1) ή να σκεφτούν να αλλάξουν κλίμακα ή ακόμη να προβληματιζονται πως ακριβώς θα τοποθετήσουν ακριβώς τις ρίζες στον άξονα.

Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Μέλη σε σύνδεση