ισόνομες κι ανεξάρτητες!

algal · #1

Με αφορμή ένα πρόβλημα πιθανοτήτων που "συνάντησα" σήμερα, παραθέτω μια γενίκευση, ενδιαφέρουσα κατά τη γνώμη μου.
ΠΡΟΒΛΗΜΑ "ΑΦΟΡΜΗ"
Για δύο συνεχείς τυχαίες μεταβλητές X,Y

, ανεξάρτητες και ισόνομες, να δείξετε ότι: $E(\frac{X}{X+Y})=\frac{1}{2}$
------
Το βασικό πρόβλημα προς λύση είναι:
ΠΡΟΒΛΗΜΑ (ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ)
Έστω $X_1,X_2,...,X_{n}$ συνεχείς τυχαίες μεταβλητές πεπερασμένες το πλήθος, ανεξάρτητες μεταξύ τους και ισόνομες ( δηλαδή ακολουθούν την ίδια κατανομή). Για φυσικό $k\in \left\{1,2,...,n \right\}$ να δείξετε ότι:
$E(\frac{X_1+X_2+...+X_{k}}{X_1+X_2+...+X_{n}})=\frac{k}{n}$
όπου E(X)

η μέση τιμή της μεταβλητής

.

#2

Οι κατανομές $\displaystyle{ \frac{X_1}{X_1 + \cdots + X_n}, \ldots, \frac{X_n}{X_1 + \cdots + X_n}}$ είναι απαραίτητα ισόνομες. Από την γραμμικότητα της ανεμενόμενης τιμής έχουμε

$\displaystyle{ 1 = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + \cdots + X_n} + \ldots + \frac{X_n}{X_1 + \cdots + X_n} \right) = n\mathbb{E}\left( \frac{X_1}{X_1 + \cdots + X_n}\right).}$

Άρα

$\displaystyle{ \mathbb{E}\left( \frac{X_1}{X_1 + \cdots + X_n}\right) = \frac{1}{n}}$

και άρα

$\displaystyle{ \mathbb{E}\left( \frac{X_1 + \cdots + X_k}{X_1 + \cdots + X_n}\right) = k \mathbb{E}\left( \frac{X_1}{X_1 + \cdots + X_n}\right) = \frac{k}{n}.}$

Οι πράξεις βέβαια δεδομένου ότι υπάρχει το $\displaystyle{\mathbb{E}\left( \frac{X_1}{X_1 + \cdots + X_n}\right).}$

ισόνομες κι ανεξάρτητες!

ισόνομες κι ανεξάρτητες!

Re: ισόνομες κι ανεξάρτητες!

Μέλη σε σύνδεση