Γεωμετρία - Παράλληλες ευθείες (1).

#1

Επί των πλευρών $AB,\ AC,$ τριγώνου $\bigtriangleup ABC$ και προς το εξωτερικό μέρος αυτού, κατασκευάζουμε τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα $\bigtriangleup ABD,\ \bigtriangleup ACE,$ με $\angle ABD = \angle ACE = 90^{o}$ και έστω $M,\ N,$ τα μέσα των $AE,\ AD,$ αντιστοίχως. Επί της ευεθίας όρίζουμε το σημείο έτσι ωστε να είναι $QC\perp CN$ και έστω $P\equiv BM\cap CN.$ Αποδείξτε ότι και $PQ\parallel BE.$

Κώστας Βήττας.

#2

Καλή και ζόρικη άσκηση!

dimitris pap · #3

Πολύ ωραία άσκηση στο αγαπημένο μου σύστημα Vecten!

Κάνοντας στροφική ομοιοθεσιά με κέντρο Α γωνία

και λόγο $\sqrt{2}$ το AMC πάει στο ABE. Ετσι ανάμεσα στις αντίστοιχες πλευρές BE, CN

σχηματίζεται γωνία 45! Αρα AHCE

εγγράψιμο. Επειτα απ' την καθετότητα των AP, DE

(αφού P σημείο Vecten), προκύπτει η εγγραψιμότητα του FQPC

και απ'το εγγράψιμο AFCE

προκύπτει κι η τελευταία απιτούμενη γωνιακή σχέση, δηλαδή ότι CFQ=45

, απ' την οποία πάμε άμεσο στο ζητούμενο!

Παρατήρηση: Ισχύει επίσης ότι AP=EQ

#4

Μπορεί να χαλάει η γοητεία της άσκησης
αλλά νομίζω ότι με αναλυτική (και λίγη βοήθεια από μιγαδικούς για την εύρεση συντεταγμένων) η λύση γίνεται θέμα επίλυσης απλούστατων συστημάτων αλλά με αρκετές πράξεις

#5

Τις πράξεις έκανε το mathematia
x_P=-(-a - a^2 - b - 2 a b - b^2)/(2 (1 - a + a^2 + 2 b + b^2))

οπου

και προκύπτει CP=CQ,PQ//BE

Γεωμετρία - Παράλληλες ευθείες (1).

Γεωμετρία - Παράλληλες ευθείες (1).

Re: Γεωμετρία - Παράλληλες ευθείες.

Re: Γεωμετρία - Παράλληλες ευθείες.

Re: Γεωμετρία - Παράλληλες ευθείες.

Re: Γεωμετρία - Παράλληλες ευθείες.

Μέλη σε σύνδεση