Δίνεται τρίγωνο...

sot arm · #1

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle ABC$ και το ύψος του $\displaystyle AD$ , αν $\displaystyle K$ τυχαίο σημείο του $\displaystyle AD$ και $\displaystyle E,Z$ τα σημεία τομής των $\displaystyle BK,CK$ με τις $\displaystyle AC,AB$ αντίστοιχα να δειχθεί ότι οι γωνίες:
$\displaystyle\hat{EDK},\hat{KDZ}$ είναι ίσες.

#2

sot arm έγραψε:Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle ABC$ και το ύψος του $\displaystyle AD$ , αν $\displaystyle K$ τυχαίο σημείο του $\displaystyle AD$ και $\displaystyle E,Z$ τα σημεία τομής των $\displaystyle BK,CK$ με τις $\displaystyle AC,AB$ αντίστοιχα να δειχθεί ότι οι γωνίες:
$\displaystyle\hat{EDK},\hat{KDZ}$ είναι ίσες.

: 1.png (20.94 KiB) Προβλήθηκε 1602 φορές

Από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η σειρά $\left( B,L,K,E \right),L\equiv DZ\cap BE$ είναι αρμονική (κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου διαιρείται

αρμονικά από τις άλλες δύο) άρα και η δέσμη είναι αρμονική και με $DK\bot BD\Rightarrow DK$ διχοτόμος της γωνίας $\angle LDE$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

sot arm · #3

Όμορφη λύση. Η δικιά μου είναι διαφορετική χωρίς την χρήση αρμονικότητας , αν δεν προκύψει από άλλον θα την ανεβάσω .

#4

: Bisector.png (10.33 KiB) Προβλήθηκε 1498 φορές

Από το σημείο $\displaystyle{K}$ φέρουμε ευθεία παράλληλη στην $\displaystyle{BC,}$ η οποία τέμνει τις $\displaystyle{AB,DZ,DE}$ και $\displaystyle{AC}$ στα σημεία $\displaystyle{L,M,N}$ και $\displaystyle{P}$ αντίστοιχα.

Από τη δέσμη κέντρου $\displaystyle{Z}$ προκύπτει ότι: $\displaystyle{\frac{{KM}}{{KL}} = \frac{{CD}}{{CB}}}$ $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ .

Από τη δέσμη κέντρου $\displaystyle{E}$ προκύπτει ότι: $\displaystyle{\frac{{KP}}{{KN}} = \frac{{BC}}{{BD}}}$ $\bf \color{red} \left( 2 \right)$ .

Από τη δέσμη κέντρου $\displaystyle{A}$ προκύπτει ότι: $\displaystyle{\frac{{KL}}{{KP}} = \frac{{DB}}{{DC}}}$ $\bf \color{red} \left( 3 \right)$ .

Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ , $\bf \color{red} \left( 2 \right)$ και $\bf \color{red} \left( 3 \right)$ κατά μέλη, βρίσκουμε ότι $\displaystyle{\frac{{KM}}{{KN}} = 1,}$ δηλαδή $\displaystyle{KM = KN.}$ Έτσι, στο τρίγωνο $\displaystyle{DMN}$ η $\displaystyle{DK}$ είναι ύψος και διάμεσος, οπότε θα είναι και διχοτόμος και το ζητούμενο δείχθηκε.

KARKAR · #5

Δείτε παλαιότερη σχετική συζήτηση εδώ

#6

Δια του σημείου

, φέρνουμε την παράλληλη ευθεία προς την

, η οποία τέμνει τις ευθείες $DZ,\ DE$ στα σημεία έστω $M,\ N$ , αντιστοίχως.

Από $AM\parallel DB\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{AM}{DB} = \frac{ZA}{ZB}\ \ \ ,(1)$

Από $AN\parallel DC\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{DC}{AN} = \frac{EC}{EA}\ \ \ ,(2)$

Από $(1),\ (2)\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{AM}{AN} = \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}\cdot \frac{ZA}{ZB}\ \ \ ,(3)$

: Δίνεται τρίγωνο.; f=22_t=54243.PNG (14.42 KiB) Προβλήθηκε 1306 φορές

Αλλά, για το εσωτερικό σημείο

στο $\vartriangle ABC$ , σύμφωνα με το Θεώρημα Ceva , ισχύει $\displaystyle \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}\cdot \frac{ZA}{ZB} = 1\ \ \ ,(4)$

Από $(3),\ (4)\Rightarrow$ $\boxed{AM = AN}\ \ \ ,(5)$

Από (5)

και $DA\perp MN$ , συμπεραίνεται ότι το τρίγωνο $\vartriangle DMN$ είναι ισοσκελές με DM = DN

και το ζητούμενο έπεται.

Κώστας Βήττας.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

sot arm έγραψε:Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle ABC$ και το ύψος του $\displaystyle AD$ , αν $\displaystyle K$ τυχαίο σημείο του $\displaystyle AD$ και $\displaystyle E,Z$ τα σημεία τομής των $\displaystyle BK,CK$ με τις $\displaystyle AC,AB$ αντίστοιχα να δειχθεί ότι οι γωνίες:
$\displaystyle\hat{EDK},\hat{KDZ}$ είναι ίσες.

Η δια του $\displaystyle{A}$ παράλληλος προς την $\displaystyle{BC}$ ,τέμνεται από τις $\displaystyle{DZ,DE}$ στα $\displaystyle{L,P}$ ανίστοιχα.

Ισχύει $\displaystyle{\frac{{AZ}}{{ZB}} \cdot \frac{{BD}}{{DC}} \cdot \frac{{CE}}{{EA}} = 1 \Rightarrow \frac{{LA}}{{BD}} \cdot \frac{{BD}}{{DC}} \cdot \frac{{DC}}{{AP}} = 1 \Rightarrow \boxed{LA = AP} \Rightarrow \boxed{\angle ADE = \angle ADZ}}$

: DT.png (15.18 KiB) Προβλήθηκε 1396 φορές

#8

sot arm έγραψε:Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle ABC$ και το ύψος του $\displaystyle AD$ , αν $\displaystyle K$ τυχαίο σημείο του $\displaystyle AD$ και $\displaystyle E,Z$ τα σημεία τομής των $\displaystyle BK,CK$ με τις $\displaystyle AC,AB$ αντίστοιχα να δειχθεί ότι οι γωνίες:
$\displaystyle\hat{EDK},\hat{KDZ}$ είναι ίσες.

: 2.png (21.01 KiB) Προβλήθηκε 1372 φορές

Έστω τα σημεία τομής των καθέτων επί την με τις αντίστοιχα.

Τότε $\dfrac{{ZN}}{{ZQ}}\mathop = \limits^{\Delta \varepsilon \sigma \mu \eta \,\,C.NZQ\,\,\left( {AD\parallel NQ} \right)} \dfrac{{KD}}{{KA}}\mathop = \limits^{\Delta \varepsilon \sigma \mu \eta \,\,B.LEF\,\,\left( {AD\parallel FL} \right)} \dfrac{{EL}}{{EF}} \Rightarrow$ $\dfrac{{ZN}}{{EL}} = \dfrac{{ZQ}}{{EF}}\mathop = \limits^{\vartriangle AZQ \sim \vartriangle AFE} \dfrac{{AQ}}{{AE}}\mathop = \limits^{QN\parallel AD\parallel FL} \dfrac{{ND}}{{LD}}$

$\mathop \Rightarrow \limits^{\angle ZND = \angle ELN = {{90}^0}} \vartriangle ZND \sim \vartriangle ELD \Rightarrow \angle ZDN = \angle EDL\mathop \Rightarrow \limits^{KD \bot NL}$ $\boxed{\angle KDZ = \angle KDE}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Δίνεται τρίγωνο...

Δίνεται τρίγωνο...

Re: Δίνεται τρίγωνο...

Re: Δίνεται τρίγωνο...

Re: Δίνεται τρίγωνο...

Re: Δίνεται τρίγωνο...

Re: Δίνεται τρίγωνο...

Re: Δίνεται τρίγωνο...

Re: Δίνεται τρίγωνο...

Μέλη σε σύνδεση