Σταθερός λόγος

KARKAR · #1

: Σταθερός λόγος.png (25.57 KiB) Προβλήθηκε 1096 φορές

Κύκλος ο οποίος διέρχεται από τα σημεία A(2,0)

και

τέμνει τον κύκλο με

εξίσωση : (x-1)^2+(y-3)^2=4

, στα σημεία

και

. Βρείτε ικανή συνθήκη ,

ώστε οι δύο κύκλοι να τέμνονται και υπολογίστε το ( σταθερό ) λόγο : $\dfrac{(BSP)}{(ASP)}$

#2

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Σταθερός λόγος.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Κύκλος ο οποίος διέρχεται από τα σημεία και τέμνει τον κύκλο με

εξίσωση : , στα σημεία και . Βρείτε ικανή συνθήκη ,

ώστε οι δύο κύκλοι να τέμνονται και υπολογίστε το ( σταθερό ) λόγο : $\dfrac{(BSP)}{(ASP)}$

Καλησπέρα Θανάση!

Έστω P(a,b)

, $\displaystyle{K\left( { - \frac{1}{2},k} \right)}$ και

η ακτίνα του κόκκινου κύκλου.

: Σταθερός λόγος..png (20.91 KiB) Προβλήθηκε 1051 φορές

Η συνθήκη για να τέμνονται οι κύκλοι είναι: $\displaystyle{|r - 2| < KL < r + 2 \Leftrightarrow \left| {\sqrt {\frac{{25}}{4} + {k^2}} - 2} \right| < \sqrt {\frac{9}{4} + {{(k - 3)}^2}} < \sqrt {\frac{{25}}{4} + {k^2}} + 2}$

Οι δύο κύκλοι έχουν εξισώσεις:
$\displaystyle{\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0 \hfill \\ {x^2} + {y^2} + x - 2yk - 6 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 3x + 6y - 2yk = 12 \Leftrightarrow k = \frac{{3x + 6y - 12}}{{2y}}}$

και για x=a, y=b

είναι $\boxed{k = \frac{{3a + 6b - 12}}{{2b}}}$ (1)

$\displaystyle{{\lambda _{KL}} = \frac{{6 - 2k}}{3} \Leftrightarrow {\lambda _{SP}} = \frac{3}{{2k - 6}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} {\lambda _{SP}} = \frac{b}{{a - 4}}}$ και $\boxed{SP:bx - (a - 4)y - 4b = 0}$

$\displaystyle{\frac{{(BSP)}}{{(ASP)}} = \frac{{d(B,SP)}}{{d(A,SP)}} = \frac{{| - 3b - 4b|}}{{|2b - 4b|}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{{(BSP)}}{{(ASP)}} = \frac{7}{2}}$

polysindos · #3

Μια διαφοροποίηση από την εξίσωση
3x+6y-2ky=12

έχουμε $x=\dfrac{12+2ky-6y}{3}$

και από την πρώτη εξίσωση $(\dfrac{12+2ky-6y}{3})^2+y^2-2(\dfrac{12+2ky-6y}{3})-6y+6=0$

(4k^2-24k+45)y^2+(36k-162)y+126=0

η διακρίνουσα πρέπει να είναι θετική

-720k^2+432k+3564>0

$\dfrac{3-6\sqrt{14}}{10}<k<\dfrac{3+6\sqrt{14}}{10}$

$d(B,SP)/d(A,SP)=\dfrac{\dfrac{\left|-9-12 \right|}{\sqrt{4k^2-24k+45}}}{\dfrac{\left|6-12 \right|}{\sqrt{4k^2-24k+45}}}=\dfrac{7}{2}$

KARKAR · #4

: Σταθερός λόγος.png (25.57 KiB) Προβλήθηκε 957 φορές

Οι έξοχες λύσεις των συναδέλφων ( ευχαριστώ !) , μπορούν να συντομευτούν περαιτέρω :

Επειδή οι μεταβλητοί κύκλοι , διέρχονται από τα σταθερά σημεία A,B

, η κοινή χορδή τους

με τον σταθερό κύκλο θα διέρχεται απο σταθερό σημείο

της ευθείας

( ριζικό κέντρο ) .

Τότε : $TA\cdot TB=TK^2-R^2\Leftrightarrow (t-2)(t+3)=(t-1)^2+3^2-4...\Leftrightarrow t=4$ .

Τα δύο τρίγωνα έχουν κοινή βάση , άρα τα εμβαδά τους είναι ανάλογα των αποστάσεων

των B,A

από την ευθεία

, δηλαδή $\dfrac{(BSP)}{(ASP)}=\dfrac{TB}{TA}=\dfrac{7}{2}$ .

#5

KARKAR έγραψε:
Σταθερός λόγος.png
Οι έξοχες λύσεις των συναδέλφων ( ευχαριστώ !) , μπορούν να συντομευτούν περαιτέρω :

Επειδή οι μεταβλητοί κύκλοι , διέρχονται από τα σταθερά σημεία , η κοινή χορδή τους

με τον σταθερό κύκλο θα διέρχεται απο σταθερό σημείο της ευθείας ( ριζικό κέντρο ) .

Τότε : $TA\cdot TB=TK^2-R^2\Leftrightarrow (t-2)(t+3)=(t-1)^2+3-4...\Leftrightarrow t=4$ .

Τα δύο τρίγωνα έχουν κοινή βάση , άρα τα εμβαδά τους είναι ανάλογα των αποστάσεων

των από την ευθεία , δηλαδή $\dfrac{(BSP)}{(ASP)}=\dfrac{TB}{TA}=\dfrac{7}{2}$ .

Πολύ ωραία άσκηση και πολύ ωραία λύση

Σταθερός λόγος

Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Μέλη σε σύνδεση